Упр.23.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) (0,1)?(2x-3)^2dx; в) (1,2)?(3x+4)^3dx; д) (1,3)?(1-4x)^4dx;
б) (-1,2)?(2x+1)^2dx; г) (0,2)?(2x-5)^4dx; е) (0,3)?(3-5x)^3dx. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=f(x) и y=g(x):
а) f(x)=sin(x), g(x)=1/2, -7?/6?x?5?/6;
б) f(x)=2sin(2x), g(x)=sin(2x), 0?x??;
в) f(x)=2cos(x), g(x)=-1, -2?/3?x?2?/3;
г) f(x)=2cos(2x), g(x)=cos(2x), -?/4?x??/4.
1. Вычислим определённые интегралы.
а)
$$\int_0^1 (2x-3)^2\,dx=\left.\frac{(2x-3)^3}{2\cdot 3}\right|_0^1=\frac{(-1)^3-(-3)^3}{6}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}.$$
б)
$$\int_{-1}^2 (2x+1)^2\,dx=\left.\frac{(2x+1)^3}{2\cdot 3}\right|_{-1}^2=\frac{5^3-(-1)^3}{6}=\frac{126}{6}=21.$$
в)
$$\int_1^2 (3x+4)^3\,dx=\left.\frac{(3x+4)^4}{3\cdot 4}\right|_1^2=\frac{10^4-7^4}{12}=\frac{10000-2401}{12}=\frac{7599}{12}=\frac{2533}{4}.$$
г)
$$\int_0^2 (2x-5)^4\,dx=\left.\frac{(2x-5)^5}{2\cdot 5}\right|_0^2=\frac{(-1)^5-(-5)^5}{10}=\frac{-1+3125}{10}=\frac{3124}{10}=\frac{1562}{5}.$$
д)
$$\int_1^3 (1-4x)^4\,dx=\left.\frac{(1-4x)^5}{-4\cdot 5}\right|_1^3=\frac{(-11)^5-(-3)^5}{-20}=\frac{11^5-3^5}{20}=\frac{161051-243}{20}=\frac{160808}{20}=\frac{40202}{5}.$$
е)
$$\int_0^3 (3-5x)^3\,dx=\left.\frac{(3-5x)^4}{-5\cdot 4}\right|_0^3=\frac{(-12)^4-3^4}{-20}=\frac{3^4-12^4}{20}=\frac{81-20736}{20}=-\frac{20655}{20}=-\frac{4131}{4}.$$
2. Найдём площади фигур.
а) $$f(x)=\sin x,\quad g(x)=\frac12.$$
Точки пересечения:
$$\sin x=\frac12,\qquad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
На отрезке $$\left[-\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$$ площадь равна
$$S=\int_{-\frac{7\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\left(\frac12-\sin x\right)\,dx+\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}\left(\sin x-\frac12\right)\,dx.$$
После вычисления получаем
$$S=\frac{\pi+6\sqrt3}{3}.$$
б) $$f(x)=2\sin 2x,\quad g(x)=\sin 2x.$$
Точки пересечения:
$$2\sin 2x=\sin 2x,\qquad \sin 2x=0,\qquad x=\frac{\pi n}{2}.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2x\,dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(-\sin 2x)\,dx=2.$$
в) $$f(x)=2\cos x,\quad g(x)=-1.$$
Точки пересечения:
$$2\cos x=-1,\qquad \cos x=-\frac12,\qquad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
На отрезке $$\left[-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$$
$$S=\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}(2\cos x+1)\,dx=\left.(2\sin x+x)\right|_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}=2\sqrt3+\frac{4\pi}{3}.$$
г) $$f(x)=2\cos 2x,\quad g(x)=\cos 2x.$$
Точки пересечения:
$$2\cos 2x=\cos 2x,\qquad \cos 2x=0,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos 2x\,dx=\left.\frac12\sin 2x\right|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}=1.$$
Ответ
а) $$\frac{13}{3}$$; б) $$21$$; в) $$\frac{2533}{4}$$; г) $$\frac{1562}{5}$$; д) $$\frac{40202}{5}$$; е) $$-\frac{4131}{4}$$; а) $$\frac{\pi+6\sqrt3}{3}$$; б) $$2$$; в) $$2\sqrt3+\frac{4\pi}{3}$$; г) $$1$$.
