Упр.23.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (-2,3)?(x^3+x^2)dx; г) (-2,2)?(x^3-6x)dx;
б) (-1,1)?(5x^4+x^3)dx; д) (0,2)?(-x^4+2x^2)dx;
в) (1,3)?(-4x^3+3x^2-2x+1)dx; е) (0,5x^3-9x^2+4x-3)dx. Найдите площадь фигуры, изображённой на указанном рисунке:
а) рис. 123; в) рис. 125; д) рис. 127;
б) рис. 124; г) рис. 126; е) рис. 128.

1. Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.

   а)
   $$ \int_{-2}^{3}(x^3+x^2)\,dx = \left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{3} = \left(\frac{81}{4}+\frac{27}{3}\right)-\left(\frac{16}{4}-\frac{8}{3}\right) = 27\frac{11}{12}. $$

   б)
   $$ \int_{-1}^{1}(5x^4+x^3)\,dx = \left(x^5+\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-1}^{1} = \left(1+\frac14\right)-\left(-1+\frac14\right) =2. $$

   в)
   $$ \int_{1}^{3}(-4x^3+3x^2-2x+1)\,dx = \left(-x^4+x^3-x^2+x\right)\Bigg|_{1}^{3} = (-81+27-9+3)-(-1+1-1+1) =-60. $$

   г)
   $$ \int_{-2}^{2}(x^3-6x)\,dx = \left(\frac{x^4}{4}-3x^2\right)\Bigg|_{-2}^{2} = \left(\frac{16}{4}-12\right)-\left(\frac{16}{4}-12\right) =0. $$

   д)
   $$ \int_{0}^{2}(-x^4+2x^2)\,dx = \left(-\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2} = -\frac{32}{5}+\frac{16}{3} = -\frac{16}{15}. $$

   е)
   $$ \int_{0}^{4}(0{,}5x^3-9x^2+4x-3)\,dx = \left(\frac{x^4}{8}-3x^3+2x^2-3x\right)\Bigg|_{0}^{4} = \frac{256}{8}-192+32-12 =-140. $$

2. Найдём площади фигур.

   а)
   $$ S=\int_{0}^{3}\bigl(8-(x-1)^3\bigr)\,dx = \left(8x-\frac{(x-1)^4}{4}\right)\Bigg|_{0}^{3} = 24-\frac{16}{4}+\frac14 =20{,}25. $$

   б)
   $$ S=\int_{0}^{8}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)\,dx = \left(2x-\frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4}\right)\Bigg|_{0}^{8} = 16-12 =4. $$

   в)
   $$ S=\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\left(\cos x-\frac12\right)\,dx = \left(\sin x-\frac{x}{2}\right)\Bigg|_{-\pi/3}^{\pi/3} = \sqrt{3}-\frac{\pi}{3}. $$

   г)
   $$ S=\int_{0}^{\pi}(1-\sin x)\,dx = \left(x+\cos x\right)\Bigg|_{0}^{\pi} = (\pi-1)-(0+1) =\pi-2. $$

   д)
   $$ S=\int_{1}^{4}\left(5-x-\frac{4}{x}\right)\,dx = \left(5x-\frac{x^2}{2}-4\ln|x|\right)\Bigg|_{1}^{4} = 7{,}5-8\ln 2. $$

   е)
   $$ S=\int_{0}^{2}(1{,}5x+1-2^x)\,dx = \left(\frac{1{,}5x^2}{2}+x-\frac{2^x}{\ln 2}\right)\Bigg|_{0}^{2} = 5-\frac{3}{\ln 2}. $$

Ответ

а) $27\frac{11}{12}$; б) $2$; в) $-60$; г) $0$; д) $-\frac{16}{15}$; е) $-140$;
а) $20{,}25$; б) $4$; в) $\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$; г) $\pi-2$; д) $7{,}5-8\ln 2$; е) $5-\frac{3}{\ln 2}$.