Упр.23.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) $$\int_{-2}^{3}(x^3+x^2)\,dx$$;
б) $$\int_{-1}^{1}(5x^4+x^3)\,dx$$;
в) $$\int_{1}^{3}(-4x^3+3x^2-2x+1)\,dx$$;
г) $$\int_{-2}^{2}(x^3-6x)\,dx$$;
д) $$\int_{0}^{2}(-x^4+2x^2)\,dx$$;
е) $$\int_{0}^{5}(x^3-9x^2+4x-3)\,dx$$. - Найдите площадь фигуры, изображённой на указанном рисунке:
а) рис. 123;
б) рис. 124;
в) рис. 125;
г) рис. 126;
д) рис. 127;
е) рис. 128.
Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.
а)
$$\int_{-2}^{3}(x^3+x^2)\,dx = \left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{3} = \left(\frac{81}{4}+\frac{27}{3}\right)-\left(\frac{16}{4}-\frac{8}{3}\right) = 27\frac{11}{12}.$$б)
$$\int_{-1}^{1}(5x^4+x^3)\,dx = \left(x^5+\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-1}^{1} = \left(1+\frac14\right)-\left(-1+\frac14\right) =2.$$в)
$$\int_{1}^{3}(-4x^3+3x^2-2x+1)\,dx = \left(-x^4+x^3-x^2+x\right)\Bigg|_{1}^{3} = (-81+27-9+3)-(-1+1-1+1) =-60.$$г)
$$\int_{-2}^{2}(x^3-6x)\,dx = \left(\frac{x^4}{4}-3x^2\right)\Bigg|_{-2}^{2} = \left(\frac{16}{4}-12\right)-\left(\frac{16}{4}-12\right) =0.$$д)
$$\int_{0}^{2}(-x^4+2x^2)\,dx = \left(-\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2} = -\frac{32}{5}+\frac{16}{3} = -\frac{16}{15}.$$е)
$$\int_{0}^{4}(0{,}5x^3-9x^2+4x-3)\,dx = \left(\frac{x^4}{8}-3x^3+2x^2-3x\right)\Bigg|_{0}^{4} = \frac{256}{8}-192+32-12 =-140.$$Найдём площади фигур.
а)
$$S=\int_{0}^{3}\bigl(8-(x-1)^3\bigr)\,dx = \left(8x-\frac{(x-1)^4}{4}\right)\Bigg|_{0}^{3} = 24-\frac{16}{4}+\frac14 =20{,}25.$$б)
$$S=\int_{0}^{8}\left(2-\sqrt[3]{x}\right)\,dx = \left(2x-\frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4}\right)\Bigg|_{0}^{8} = 16-12 =4.$$в)
$$S=\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\left(\cos x-\frac12\right)\,dx = \left(\sin x-\frac{x}{2}\right)\Bigg|_{-\pi/3}^{\pi/3} = \sqrt{3}-\frac{\pi}{3}.$$г)
$$S=\int_{0}^{\pi}(1-\sin x)\,dx = \left(x+\cos x\right)\Bigg|_{0}^{\pi} = (\pi-1)-(0+1) =\pi-2.$$д)
$$S=\int_{1}^{4}\left(5-x-\frac{4}{x}\right)\,dx = \left(5x-\frac{x^2}{2}-4\ln|x|\right)\Bigg|_{1}^{4} = 7{,}5-8\ln 2.$$е)
$$S=\int_{0}^{2}(1{,}5x+1-2^x)\,dx = \left(\frac{1{,}5x^2}{2}+x-\frac{2^x}{\ln 2}\right)\Bigg|_{0}^{2} = 5-\frac{3}{\ln 2}.$$
Ответ
а) $$27\frac{11}{12}$$; б) $$2$$; в) $$-60$$; г) $$0$$; д) $$-\frac{16}{15}$$; е) $$-140$$;
а) $$20{,}25$$; б) $$4$$; в) $$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$$; г) $$\pi-2$$; д) $$7{,}5-8\ln 2$$; е) $$5-\frac{3}{\ln 2}$$.
