Упр.23.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) (1,4)?(x^2+x)dx; г) (0,3)?(-x^2-2x)dx;
б) (0,3)?(-x^2+3x-4)dx; д) (-1,2)?(x^2-4x+3)dx;
в) (-2,3)?(3x^2-2x+1)dx; е) (1,3)?(6x^2+4x-3)dx. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=f(x) и y=g(x):
а) f(x)=1-x^2, g(x)=x-1; б) f(x)=x^2-2x-3, g(x)=x+1;
в) f(x)=x^2+2x-3, g(x)=1-x^2; г) f(x)=x^2-4, g(x)=2x-1;
д) f(x)=-x^2+3x-2, g(x)=1-x; е) f(x)=(x-3)^2, g(x)=-x^2+2x+3.

Подробный ответ

Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.

а)
$$\int\limits_{1}^{4}(x^2+x)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{1}^{4}$$
$$=\left(\frac{64}{3}+8\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{64}{3}+\frac{24}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=28\frac{1}{2}.$$
б)
$$\int\limits_{0}^{3}(-x^2+3x-4)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-4x\right)\Bigg|_{0}^{3}$$
$$=\left(-9+\frac{27}{2}-12\right)-0=-\frac{15}{2}=-7\frac{1}{2}.$$
в)
$$\int\limits_{-2}^{3}(3x^2-2x+1)\,dx=\left(x^3-x^2+x\right)\Bigg|_{-2}^{3}$$
$$=(27-9+3)-(-8-4-2)=21-(-14)=35.$$
г)
$$\int\limits_{0}^{3}(-x^2-2x)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}-x^2\right)\Bigg|_{0}^{3}$$
$$=-9-9=-18.$$
д)
$$\int\limits_{-1}^{2}(x^2-4x+3)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\Bigg|_{-1}^{2}$$
$$=\left(\frac{8}{3}-8+6\right)-\left(-\frac{1}{3}-2-3\right)=\frac{2}{3}+ \frac{16}{3}=6.$$
е)
$$\int\limits_{1}^{3}(6x^2+4x-3)\,dx=\left(2x^3+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}$$
$$=(54+18-9)-(2+2-3)=63-1=62.$$

Найдём площадь фигуры, ограниченной графиками функций.

а) $$f(x)=1-x^2,\quad g(x)=x-1.$$
Точки пересечения:
$$1-x^2=x-1,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1.$$
На отрезке $$[-2;1]$$ сверху находится функция $$f(x)$$, поэтому
$$S=\int\limits_{-2}^{1}\bigl((1-x^2)-(x-1)\bigr)\,dx=\int\limits_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{1}=\frac{9}{2}.$$
б) $$f(x)=x^2-2x-3,\quad g(x)=x+1.$$
Точки пересечения:
$$x^2-2x-3=x+1,$$
$$x^2-3x-4=0,$$
$$x_1=-1,\quad x_2=4.$$
На отрезке $$[-1;4]$$ сверху находится функция $$g(x)$$, поэтому
$$S=\int\limits_{-1}^{4}\bigl((x+1)-(x^2-2x-3)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^{4}(4+3x-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(4x+\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{4}=\frac{125}{6}=20\frac{5}{6}.$$
в) $$f(x)=x^2+2x-3,\quad g(x)=1-x^2.$$
Точки пересечения:
$$x^2+2x-3=1-x^2,$$
$$2x^2+2x-4=0,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1.$$
На отрезке $$[-2;1]$$ сверху находится функция $$g(x)$$, поэтому
$$S=\int\limits_{-2}^{1}\bigl((1-x^2)-(x^2+2x-3)\bigr)\,dx=\int\limits_{-2}^{1}(4-2x-2x^2)\,dx.$$
$$S=\left(4x-x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{1}=9.$$
г) $$f(x)=x^2-4,\quad g(x)=2x-1.$$
Точки пересечения:
$$x^2-4=2x-1,$$
$$x^2-2x-3=0,$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3.$$
На отрезке $$[-1;3]$$ сверху находится функция $$g(x)$$, поэтому
$$S=\int\limits_{-1}^{3}\bigl((2x-1)-(x^2-4)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^{3}(2x+3-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(x^2+3x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}.$$
д) $$f(x)=-x^2+3x-2,\quad g(x)=1-x.$$
Точки пересечения:
$$-x^2+3x-2=1-x,$$
$$x^2-4x+3=0,$$
$$x_1=1,\quad x_2=3.$$
На отрезке $$[1;3]$$ сверху находится функция $$f(x)$$, поэтому
$$S=\int\limits_{1}^{3}\bigl((-x^2+3x-2)-(1-x)\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{3}(4x-x^2-3)\,dx.$$
$$S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}.$$
е) $$f(x)=(x-3)^2,\quad g(x)=-x^2+2x+3.$$
Точки пересечения:
$$(x-3)^2=-x^2+2x+3,$$
$$x^2-6x+9=-x^2+2x+3,$$
$$x^2-4x+3=0,$$
$$x_1=1,\quad x_2=3.$$
На отрезке $$[1;3]$$ сверху находится функция $$g(x)$$, поэтому
$$S=\int\limits_{1}^{3}\bigl((-x^2+2x+3)-(x-3)^2\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{3}(8x-6-2x^2)\,dx.$$
$$S=\left(4x^2-6x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}.$$