Упр.23.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) $$\int_{-2}^{5}(2x+1)\,dx$$; в) $$\int_{-1}^{3}(x-1)^3\,dx$$; д) $$\int_{-2}^{1}(x^2+1)\,dx$$; б) $$\int_{-3}^{3}(4x-3)\,dx$$; г) $$\int_{0}^{4}(x+2)^2\,dx$$; е) $$\int_{2}^{4}(x^2-2)\,dx$$.
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$:
а) $$f(x)=4-x^2,\quad g(x)=0$$; г) $$f(x)=-x^2+6x,\quad g(x)=0$$; б) $$f(x)=9-x^2,\quad g(x)=4$$; д) $$f(x)=-x^2+4x,\quad g(x)=3$$; в) $$f(x)=2x^4,\quad g(x)=2$$; е) $$f(x)=0{,}5x^4,\quad g(x)=0{,}5$$.
Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.
а) $$\int_{-2}^{5}(2x+1)\,dx=\left(x^2+x\right)\Big|_{-2}^{5}=(25+5)-(4-2)=28.$$
б) $$\int_{-3}^{3}(4x-3)\,dx=\left(2x^2-3x\right)\Big|_{-3}^{3}=(18-9)-(18+9)=-18.$$
в) $$\int_{-1}^{3}(x-1)^3\,dx=\left(\frac{(x-1)^4}{4}\right)\Big|_{-1}^{3}=\frac{2^4}{4}-\frac{(-2)^4}{4}=0.$$
г) $$\int_{0}^{4}(x+2)^2\,dx=\left(\frac{(x+2)^3}{3}\right)\Big|_{0}^{4}=\frac{6^3}{3}-\frac{2^3}{3}=\frac{208}{3}=69\frac{1}{3}.$$
д) $$\int_{-2}^{1}(x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_{-2}^{1}=\left(\frac13+1\right)-\left(-\frac83-2\right)=6.$$
е) $$\int_{2}^{4}(x^2-2)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x\right)\Big|_{2}^{4}=\left(\frac{64}{3}-8\right)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{44}{3}=14\frac{2}{3}.$$
Найдём площадь фигуры, ограниченной графиками функций.
а) $$f(x)=4-x^2,\quad g(x)=0.$$
Точки пересечения: $$4-x^2=0,\quad x=\pm 2.$$
Тогда
$$S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^{2}=10\frac{2}{3}.$$
б) $$f(x)=9-x^2,\quad g(x)=4.$$
Точки пересечения: $$9-x^2=4,\quad x=\pm\sqrt5.$$
Тогда
$$S=\int_{-\sqrt5}^{\sqrt5}(5-x^2)\,dx=\left(5x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-\sqrt5}^{\sqrt5}=\frac{20\sqrt5}{3}.$$
в) $$f(x)=2x^4,\quad g(x)=2.$$
Точки пересечения: $$2x^4=2,\quad x=\pm 1.$$
Тогда
$$S=\int_{-1}^{1}(2-2x^4)\,dx=\left(2x-\frac{2x^5}{5}\right)\Big|_{-1}^{1}=\frac{16}{5}=3{,}2.$$
г) $$f(x)=-x^2+6x,\quad g(x)=0.$$
Точки пересечения: $$-x^2+6x=0,\quad x(x-6)=0,\quad x=0,\;6.$$
Тогда
$$S=\int_{0}^{6}(6x-x^2)\,dx=\left(3x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{0}^{6}=36.$$
д) $$f(x)=-x^2+4x,\quad g(x)=3.$$
Точки пересечения: $$-x^2+4x=3,\quad x^2-4x+3=0,\quad x=1,\;3.$$
Тогда
$$S=\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}-3x\right)\Big|_{1}^{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}.$$
е) $$f(x)=0{,}5x^4,\quad g(x)=0{,}5.$$
Точки пересечения: $$0{,}5x^4=0{,}5,\quad x=\pm 1.$$
Тогда
$$S=\int_{-1}^{1}(0{,}5-0{,}5x^4)\,dx=\left(0{,}5x-\frac{0{,}5x^5}{5}\right)\Big|_{-1}^{1}=0{,}8.$$
Ответ
Интегралы: а) $$28$$; б) $$-18$$; в) $$0$$; г) $$69\frac{1}{3}$$; д) $$6$$; е) $$14\frac{2}{3}$$.
Площади: а) $$10\frac{2}{3}$$; б) $$\frac{20\sqrt5}{3}$$; в) $$3{,}2$$; г) $$36$$; д) $$\frac{4}{3}$$; е) $$0{,}8$$.
