Упр.23.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2025 года. Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) $$\int_{1}^{2}x^{-4}\,dx$$;
в) $$\int_{1}^{4}\frac{1}{x^2}\,dx$$;
д) $$\int_{1}^{4}x^{-1{,}5}\,dx$$;
б) $$\int_{3}^{4}x^{-3}\,dx$$;
г) $$\int_{3}^{5}\left(-\frac{1}{x^2}\right)\,dx$$;
е) $$\int_{1}^{8}x^{-\frac{2}{3}}\,dx$$.
Задание учебника 2022 года. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $$y=0$$, $$x=a$$, $$x=b$$ и графиком функции $$y=(x)$$:
а) $$y=e^{3x-3}$$, $$a=0$$, $$b=1$$;
б) $$y=\frac{1}{2(x-1)}$$, $$a=2$$, $$b=3$$;
в) $$y=10^{2x+2}$$, $$a=-1$$, $$b=0$$;
г) $$y=e^{2x+4}$$, $$a=-2$$, $$b=0$$;
д) $$y=\frac{1}{3(x+2)}$$, $$a=-1$$, $$b=0$$;
е) $$y=0{,}1^{3-x}$$, $$a=2$$, $$b=3$$.

Подробный ответ

1) Вычислим определённые интегралы.

$$\int_1^2 x^{-4}\,dx=\left.-\frac{x^{-3}}{3}\right|_1^2=-\frac{1}{3\cdot 8}+\frac{1}{3}=\frac{7}{24}.$$
$$\int_3^4 x^{-3}\,dx=\left.-\frac{x^{-2}}{2}\right|_3^4=-\frac{1}{2\cdot 16}+\frac{1}{2\cdot 9}=\frac{7}{288}.$$
$$\int_1^4 \frac{1}{x^2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_1^4=-\frac14+1=\frac34.$$
$$\int_3^5 \left(-\frac{1}{x^2}\right)\,dx=\left.\frac{1}{x}\right|_3^5=\frac15-\frac13=-\frac{2}{15}.$$
$$\int_1^4 x^{-1.5}\,dx=\int_1^4 x^{-3/2}\,dx=\left.-\frac{x^{-1/2}}{1/2}\right|_1^4=\left.-2x^{-1/2}\right|_1^4=-1+2=1.$$
$$\int_1^8 x^{-2/3}\,dx=\left.3x^{1/3}\right|_1^8=3\cdot 2-3\cdot 1=3.$$

2) Найдём площадь криволинейной трапеции.

$$S=\int_0^1 e^{3x-3}\,dx=\left.\frac{1}{3}e^{3x-3}\right|_0^1=\frac13-\frac{1}{3e^3}=\frac13\left(1-\frac{1}{e^3}\right).$$
$$S=\int_2^3 \frac{1}{2(x-1)}\,dx=\left.\frac12\ln|x-1|\right|_2^3=\frac12\ln 2.$$
$$S=\int_{-1}^0 10^{2x+2}\,dx=\left.\frac{10^{2x+2}}{2\ln 10}\right|_{-1}^0=\frac{100-1}{2\ln 10}=\frac{99}{2\ln 10}.$$
$$S=\int_{-2}^0 e^{2x+4}\,dx=\left.\frac12 e^{2x+4}\right|_{-2}^0=\frac12(e^4-1).$$
$$S=\int_{-1}^0 \frac{1}{3(x+2)}\,dx=\left.\frac13\ln|x+2|\right|_{-1}^0=\frac13\ln 2.$$
$$S=\int_2^3 0.1^{\,3-x}\,dx=\left.-\frac{0.1^{\,3-x}}{\ln 0.1}\right|_2^3=\frac{0.9}{\ln 10}.$$

Ответ

1) $$\frac{7}{24},\ \frac{7}{288},\ \frac34,\ -\frac{2}{15},\ 1,\ 3.$$
2) $$\frac13\left(1-\frac{1}{e^3}\right),\ \frac12\ln 2,\ \frac{99}{2\ln 10},\ \frac12(e^4-1),\ \frac13\ln 2,\ \frac{0.9}{\ln 10}.$$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

4.7 / 5

Другие учебники