Упр.23.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (1,2)?x^(-4)dx; в) (1,4)?(1/x^2)dx; д) (1,4)?x^(-1,5)dx;
б) (3,4)?x^(-3)dx; г) (3,5)?(-1/x^2)dx; е) (1,8)?x^(-2/3)dx. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми y=0, x=a, x=b и графиком функции y=(x):
а) y=e^(3x-3), a=0, b=1; б) y=1/(2(x-1)), a=2, b=3;
в) y=10^(2x+2), a=-1, b=0; г) y=e^(2x+4), a=-2, b=0;
д) y=1/(3(x+2)), a=-1, b=0; е) y=0,1^(3-x), a=2, b=3.

1) Вычислим определённые интегралы.

1. $$\int_1^2 x^{-4}\,dx=\left.-\frac{x^{-3}}{3}\right|_1^2=-\frac{1}{3\cdot 8}+\frac{1}{3}=\frac{7}{24}.$$
2. $$\int_3^4 x^{-3}\,dx=\left.-\frac{x^{-2}}{2}\right|_3^4=-\frac{1}{2\cdot 16}+\frac{1}{2\cdot 9}=\frac{7}{288}.$$
3. $$\int_1^4 \frac{1}{x^2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_1^4=-\frac14+1=\frac34.$$
4. $$\int_3^5 \left(-\frac{1}{x^2}\right)\,dx=\left.\frac{1}{x}\right|_3^5=\frac15-\frac13=-\frac{2}{15}.$$
5. $$\int_1^4 x^{-1.5}\,dx=\int_1^4 x^{-3/2}\,dx=\left.-\frac{x^{-1/2}}{1/2}\right|_1^4=\left.-2x^{-1/2}\right|_1^4=-1+2=1.$$
6. $$\int_1^8 x^{-2/3}\,dx=\left.3x^{1/3}\right|_1^8=3\cdot 2-3\cdot 1=3.$$

2) Найдём площадь криволинейной трапеции.

1. $$S=\int_0^1 e^{3x-3}\,dx=\left.\frac{1}{3}e^{3x-3}\right|_0^1=\frac13-\frac{1}{3e^3}=\frac13\left(1-\frac{1}{e^3}\right).$$
2. $$S=\int_2^3 \frac{1}{2(x-1)}\,dx=\left.\frac12\ln|x-1|\right|_2^3=\frac12\ln 2.$$
3. $$S=\int_{-1}^0 10^{2x+2}\,dx=\left.\frac{10^{2x+2}}{2\ln 10}\right|_{-1}^0=\frac{100-1}{2\ln 10}=\frac{99}{2\ln 10}.$$
4. $$S=\int_{-2}^0 e^{2x+4}\,dx=\left.\frac12 e^{2x+4}\right|_{-2}^0=\frac12(e^4-1).$$
5. $$S=\int_{-1}^0 \frac{1}{3(x+2)}\,dx=\left.\frac13\ln|x+2|\right|_{-1}^0=\frac13\ln 2.$$
6. $$S=\int_2^3 0.1^{\,3-x}\,dx=\left.-\frac{0.1^{\,3-x}}{\ln 0.1}\right|_2^3=\frac{0.9}{\ln 10}.$$

Ответ

1) $$\frac{7}{24},\ \frac{7}{288},\ \frac34,\ -\frac{2}{15},\ 1,\ 3.$$
2) $$\frac13\left(1-\frac{1}{e^3}\right),\ \frac12\ln 2,\ \frac{99}{2\ln 10},\ \frac12(e^4-1),\ \frac13\ln 2,\ \frac{0.9}{\ln 10}.$$