Упр.23.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) |x^2-4x|·log_2(x+3)?4x-x^2;
б) |x^2-2x|·log_0,1(x+4)?2x-x^2.

а) Рассмотрим неравенство $$|x^2-4x|\cdot \log_2(x+3)\le 4x-x^2.$$

Область определения: $$x+3>0,\quad x>-3.$$

Заметим, что $$4x-x^2=-(x^2-4x).$$ Тогда неравенство можно записать так:

$$|x^2-4x|\cdot \log_2(x+3)\le -(x^2-4x).$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$x^2-4x\ge 0,$$ то $$|x^2-4x|=x^2-4x,$$ и получаем

$$ (x^2-4x)\log_2(x+3)\le -(x^2-4x). $$

При $$x^2-4x>0$$ делим на положительное число $$x^2-4x$$:

$$\log_2(x+3)\le -1,$$

откуда

$$x+3\le \frac12,\quad x\le -\frac52.$$

С учётом $$x^2-4x\ge 0 \iff x\le 0 \text{ или } x\ge 4$$ и области определения получаем:

$$x\in (-3,-\tfrac52].$$

2) Если $$0<x<4,$$ то $$|x^2-4x|=4x-x^2,$$ и неравенство принимает вид

$$ (4x-x^2)\log_2(x+3)\le 4x-x^2. $$

Так как $$4x-x^2>0,$$ делим на него:

$$\log_2(x+3)\le 1,$$

откуда

$$x+3\le 2,\quad x\le -1.$$

Но при $$0<x<4$$ это невозможно, значит решений здесь нет.

3) При $$x=0$$ и $$x=4$$ левая и правая части равны нулю, поэтому эти точки подходят.

Итак,

$$x\in (-3,-\tfrac52]\cup \{0\}\cup \{4\}.$$

б) Рассмотрим неравенство $$|x^2-2x|\cdot \log_{0,1}(x+4)\ge 2x-x^2.$$

Область определения: $$x+4>0,\quad x>-4.$$

Заметим, что $$2x-x^2=-(x^2-2x).$$ Тогда

$$|x^2-2x|\cdot \log_{0,1}(x+4)\ge -(x^2-2x).$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$x^2-2x\ge 0,$$ то $$|x^2-2x|=x^2-2x,$$ и получаем

$$ (x^2-2x)\log_{0,1}(x+4)\ge -(x^2-2x). $$

При $$x^2-2x>0$$ делим на положительное число:

$$\log_{0,1}(x+4)\ge -1.$$

Так как основание $$0{,}1<1,$$ знак при переходе к показательной форме меняется:

$$x+4\le 10,\quad x\le 6.$$

С учётом $$x^2-2x\ge 0 \iff x\le 0 \text{ или } x\ge 2$$ и области определения получаем:

$$x\in (-4,0]\cup [2,6].$$

2) Если $$0<x<2,$$ то $$|x^2-2x|=2x-x^2,$$ и неравенство становится

$$ (2x-x^2)\log_{0,1}(x+4)\ge 2x-x^2. $$

Так как $$2x-x^2>0,$$ делим на него:

$$\log_{0,1}(x+4)\ge 1,$$

откуда

$$x+4\le 0{,}1,\quad x\le -3{,}9,$$

что невозможно при $$0<x<2.$$

Следовательно, решений в этом случае нет.

Итак,

$$x\in (-4,0]\cup [2,6].$$

Ответ

а) $$(-3;-\tfrac52]\cup \{0\}\cup \{4\}.$$

б) $$(-4;0]\cup [2;6].$$