Упр.23.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Решите неравенство:
- $$|x^2-4x|\cdot\log_2(x+3)?4x-x^2$$;
- $$|x^2-2x|\cdot\log_{0,1}(x+4)?2x-x^2$$.
а) Рассмотрим неравенство $$|x^2-4x|\cdot \log_2(x+3)\le 4x-x^2.$$
Область определения: $$x+3>0,\quad x>-3.$$
Заметим, что $$4x-x^2=-(x^2-4x).$$ Тогда неравенство можно записать так:
$$|x^2-4x|\cdot \log_2(x+3)\le -(x^2-4x).$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x^2-4x\ge 0,$$ то $$|x^2-4x|=x^2-4x,$$ и получаем
$$(x^2-4x)\log_2(x+3)\le -(x^2-4x).$$
При $$x^2-4x>0$$ делим на положительное число $$x^2-4x$$:
$$\log_2(x+3)\le -1,$$
откуда
$$x+3\le \frac12,\quad x\le -\frac52.$$
С учётом $$x^2-4x\ge 0 \iff x\le 0 \text{ или } x\ge 4$$ и области определения получаем:
$$x\in (-3,-\tfrac52].$$
2) Если $$0<x<4,$$ то $$|x^2-4x|=4x-x^2,$$ и неравенство принимает вид
$$(4x-x^2)\log_2(x+3)\le 4x-x^2.$$
Так как $$4x-x^2>0,$$ делим на него:
$$\log_2(x+3)\le 1,$$
откуда
$$x+3\le 2,\quad x\le -1.$$
Но при $$0<x<4$$ это невозможно, значит решений здесь нет.
3) При $$x=0$$ и $$x=4$$ левая и правая части равны нулю, поэтому эти точки подходят.
Итак,
$$x\in (-3,-\tfrac52]\cup \{0\}\cup \{4\}.$$
б) Рассмотрим неравенство $$|x^2-2x|\cdot \log_{0,1}(x+4)\ge 2x-x^2.$$
Область определения: $$x+4>0,\quad x>-4.$$
Заметим, что $$2x-x^2=-(x^2-2x).$$ Тогда
$$|x^2-2x|\cdot \log_{0,1}(x+4)\ge -(x^2-2x).$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x^2-2x\ge 0,$$ то $$|x^2-2x|=x^2-2x,$$ и получаем
$$(x^2-2x)\log_{0,1}(x+4)\ge -(x^2-2x).$$
При $$x^2-2x>0$$ делим на положительное число:
$$\log_{0,1}(x+4)\ge -1.$$
Так как основание $$0{,}1<1,$$ знак при переходе к показательной форме меняется:
$$x+4\le 10,\quad x\le 6.$$
С учётом $$x^2-2x\ge 0 \iff x\le 0 \text{ или } x\ge 2$$ и области определения получаем:
$$x\in (-4,0]\cup [2,6].$$
2) Если $$0<x<2,$$ то $$|x^2-2x|=2x-x^2,$$ и неравенство становится
$$(2x-x^2)\log_{0,1}(x+4)\ge 2x-x^2.$$
Так как $$2x-x^2>0,$$ делим на него:
$$\log_{0,1}(x+4)\ge 1,$$
откуда
$$x+4\le 0{,}1,\quad x\le -3{,}9,$$
что невозможно при $$0<x<2.$$
Следовательно, решений в этом случае нет.
Итак,
$$x\in (-4,0]\cup [2,6].$$
Ответ
а) $$(-3;-\tfrac52]\cup \{0\}\cup \{4\}.$$
б) $$(-4;0]\cup [2;6].$$
