Упр.23.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение и найдите его корни, принадлежащие данному промежутку: а) $$\frac{1}{\sin^2(x)}+\frac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}=2$$, $$\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]$$; б) $$\frac{1}{\cos^2(x)}+\frac{1}{\sin\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)}=2$$, $$(1;10)$$.

а) На отрезке $$\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]$$ имеем

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x,$$

поэтому уравнение принимает вид

$$\frac{1}{\sin^2 x}+\frac{1}{\sin x}=2.$$

Умножим на $$\sin^2 x$$:

$$1+\sin x=2\sin^2 x.$$

Получаем квадратное уравнение

$$2\sin^2 x-\sin x-1=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2-y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{1+3}{4}=1.$$

1) Если $$\sin x=-\frac12,$$ то

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

На заданном отрезке подходит

$$x=-\frac{13\pi}{6}.$$

2) Если $$\sin x=1,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

На заданном отрезке подходит

$$x=-\frac{3\pi}{2}.$$

Следовательно, для пункта а) получаем корни $$-\frac{13\pi}{6}$$ и $$-\frac{3\pi}{2}.$$

б) На интервале $$\left(1;10\right)$$ имеем

$$\sin\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x,$$

поэтому

$$\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)}=2$$

преобразуется к виду

$$\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{\cos x}=2.$$

Умножим на $$\cos^2 x$$:

$$1-\cos x=2\cos^2 x.$$

Получаем квадратное уравнение

$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$

1) Если $$\cos x=-1,$$ то

$$x=\pi+2\pi n.$$

На интервале $$\left(1;10\right)$$ подходят

$$x=\pi,\quad x=3\pi.$$

2) Если $$\cos x=\frac12,$$ то

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

На интервале $$\left(1;10\right)$$ подходят

$$x=\frac{5\pi}{3},\quad x=\frac{7\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$-\frac{13\pi}{6},\ -\frac{3\pi}{2}$$; б) $$\pi,\ 3\pi,\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$.