Упр.23.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) ?((-2; 2); v(4 — x^2) dx); г) ?((-3; 0); v(9 — x^2) dx);
б) ?((0; 4); (2x + v(16 — x^2)) dx); д) ?((-5; 5); (v(25 — x^2) + x^3) dx);
в) ?((-4; 0); v(-4x — x^2) dx); е) ?((4; 8); v(8x — x^2) dx).

1. а) $$\int\limits_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx$$ — это площадь верхней полуокружности радиуса $$2$$:

   $$S=\frac12\pi R^2=\frac12\pi\cdot 2^2=2\pi.$$

2. б) $$\int\limits_{0}^{4}\left(2x+\sqrt{16-x^2}\right)\,dx$$

   $$\int\limits_{0}^{4}2x\,dx=x^2\Big|_{0}^{4}=16,$$

   а $$\int\limits_{0}^{4}\sqrt{16-x^2}\,dx$$ — площадь четверти круга радиуса $$4$$:

   $$S=\frac14\pi R^2=\frac14\pi\cdot 16=4\pi.$$

   Итак,

   $$\int\limits_{0}^{4}\left(2x+\sqrt{16-x^2}\right)\,dx=16+4\pi.$$

3. в) $$\int\limits_{-4}^{0}\sqrt{-4x-x^2}\,dx$$

   Преобразуем подкоренное выражение:

   $$-4x-x^2=4-(x+2)^2,$$

   значит, это верхняя полуокружность радиуса $$2$$. Тогда

   $$S=\frac12\pi\cdot 2^2=2\pi.$$

4. г) $$\int\limits_{-3}^{0}\sqrt{9-x^2}\,dx$$ — площадь четверти круга радиуса $$3$$:

   $$S=\frac14\pi R^2=\frac14\pi\cdot 9=\frac{9\pi}{4}.$$

5. д) $$\int\limits_{-5}^{5}\left(\sqrt{25-x^2}+x^3\right)\,dx$$

   Так как функция $$x^3$$ нечётная, то

   $$\int\limits_{-5}^{5}x^3\,dx=0.$$

   Остаётся площадь верхней полуокружности радиуса $$5$$:

   $$\int\limits_{-5}^{5}\sqrt{25-x^2}\,dx=\frac12\pi\cdot 5^2=\frac{25\pi}{2}.$$

6. е) $$\int\limits_{4}^{8}\sqrt{8x-x^2}\,dx$$

   Преобразуем:

   $$8x-x^2=16-(x-4)^2,$$

   это четверть круга радиуса $$4$$, значит

   $$S=\frac14\pi\cdot 4^2=4\pi.$$

Ответ

а) $$2\pi$$; б) $$16+4\pi$$; в) $$2\pi$$; г) $$\frac{9\pi}{4}$$; д) $$\frac{25\pi}{2}$$; е) $$4\pi$$.