Упр.23.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) ?((0; 1); (|x^2 — 2x + 3| + (2x + 1) / (x + 2)) dx);
б) ?((-2; 2); (|x^2 — 9| — (2x — 3) / (x + 3)) dx);
в) ?((-1; 1); (|3x^4 — 2x^2 + 5| + (3x + 2) / (x + 2)) dx);
г) ?((-1; 2); (x / (3x + 6) + |x^4 — 9x^2|) dx).

Подробный ответ

а) На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$$, поэтому
$$ \int\limits_0^1 \left(|x^2-2x+3|+\frac{2x+1}{x+2}\right)\,dx = \int\limits_0^1 \left(x^2-2x+3+\frac{2x+1}{x+2}\right)\,dx. $$
Преобразуем дробь:
$$ \frac{2x+1}{x+2}=2-\frac{3}{x+2}. $$
Тогда
$$ \int\limits_0^1 \left(x^2-2x+5-\frac{3}{x+2}\right)\,dx = \left(\frac{x^3}{3}-x^2+5x-3\ln|x+2|\right)\Bigg|_0^1. $$
$$ \frac13-1+5-3\ln 3-\left(0-3\ln 2\right) = \frac{13}{3}+3\ln\frac23. $$
б) На отрезке $$[-2;2]$$ имеем $$x^2-9<0$$, значит
$$ |x^2-9|=9-x^2. $$
Кроме того,
$$ \frac{2x-3}{x+3}=2-\frac{9}{x+3}. $$
Тогда
$$ \int\limits_{-2}^2 \left(|x^2-9|-\frac{2x-3}{x+3}\right)\,dx = \int\limits_{-2}^2 \left(7-x^2+\frac{9}{x+3}\right)\,dx. $$
$$ \left(7x-\frac{x^3}{3}+9\ln|x+3|\right)\Bigg|_{-2}^2 = \left(14-\frac83+9\ln 5\right)-\left(-14+\frac83+9\ln 1\right). $$
$$ =28-\frac{16}{3}+9\ln 5 = \frac{68}{3}+9\ln 5. $$
в) На отрезке $$[-1;1]$$ выражение $$3x^4-2x^2+5>0$$, поэтому
$$ \int\limits_{-1}^1 \left(|3x^4-2x^2+5|-\frac{3x+2}{x+2}\right)\,dx = \int\limits_{-1}^1 \left(3x^4-2x^2+5-\frac{3x+2}{x+2}\right)\,dx. $$
Преобразуем дробь:
$$ \frac{3x+2}{x+2}=3-\frac{4}{x+2}. $$
Тогда
$$ \int\limits_{-1}^1 \left(3x^4-2x^2+2+\frac{4}{x+2}\right)\,dx = \left(\frac{3x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+2x+4\ln|x+2|\right)\Bigg|_{-1}^1. $$
$$ \left(\frac35-\frac23+2+4\ln 3\right)-\left(-\frac35+\frac23-2+4\ln 1\right) = \frac{76}{15}+4\ln 3. $$
г) На отрезке $$[-1;2]$$ имеем $$x^4-9x^2=x^2(x^2-9)\le 0$$, значит
$$ |x^4-9x^2|=9x^2-x^4. $$
Кроме того,
$$ \frac{x}{3x+6}=\frac{x}{3(x+2)}=\frac13-\frac{2}{3(x+2)}. $$
Тогда
$$ \int\limits_{-1}^2 \left(\frac{x}{3x+6}+|x^4-9x^2|\right)\,dx = \int\limits_{-1}^2 \left(\frac13-\frac{2}{3(x+2)}+9x^2-x^4\right)\,dx. $$
$$ \left(\frac{x}{3}-\frac23\ln|x+2|-\frac{x^5}{5}+3x^3\right)\Bigg|_{-1}^2. $$
Подставим пределы:
$$ \left(\frac23-\frac23\ln 4-\frac{32}{5}+24\right) — \left(-\frac13-\frac23\ln 1+\frac15-3\right). $$
$$ =\frac{124}{15}-\frac23\ln 4 = \frac{124}{15}-\frac43\ln 2. $$