Упр.23.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\int_{0}^{1}\left(\left|x^2-2x+3\right|+\frac{2x+1}{x+2}\right)\,dx$$; б) $$\int_{-2}^{2}\left(\left|x^2-9\right|-\frac{2x-3}{x+3}\right)\,dx$$; в) $$\int_{-1}^{1}\left(\left|3x^4-2x^2+5\right|+\frac{3x+2}{x+2}\right)\,dx$$; г) $$\int_{-1}^{2}\left(\frac{x}{3x+6}+\left|x^4-9x^2\right|\right)\,dx$$.

1. а) На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$$, поэтому

   $$\int\limits_0^1 \left(|x^2-2x+3|+\frac{2x+1}{x+2}\right)\,dx = \int\limits_0^1 \left(x^2-2x+3+\frac{2x+1}{x+2}\right)\,dx.$$

   Преобразуем дробь:

   $$\frac{2x+1}{x+2}=2-\frac{3}{x+2}.$$

   Тогда

   $$\int\limits_0^1 \left(x^2-2x+5-\frac{3}{x+2}\right)\,dx = \left(\frac{x^3}{3}-x^2+5x-3\ln|x+2|\right)\Bigg|_0^1.$$

   $$\frac13-1+5-3\ln 3-\left(0-3\ln 2\right) = \frac{13}{3}+3\ln\frac23.$$

2. б) На отрезке $$[-2;2]$$ имеем $$x^2-9<0$$, значит

   $$|x^2-9|=9-x^2.$$

   Кроме того,

   $$\frac{2x-3}{x+3}=2-\frac{9}{x+3}.$$

   Тогда

   $$\int\limits_{-2}^2 \left(|x^2-9|-\frac{2x-3}{x+3}\right)\,dx = \int\limits_{-2}^2 \left(7-x^2+\frac{9}{x+3}\right)\,dx.$$

   $$\left(7x-\frac{x^3}{3}+9\ln|x+3|\right)\Bigg|_{-2}^2 = \left(14-\frac83+9\ln 5\right)-\left(-14+\frac83+9\ln 1\right).$$

   $$=28-\frac{16}{3}+9\ln 5 = \frac{68}{3}+9\ln 5.$$

3. в) На отрезке $$[-1;1]$$ выражение $$3x^4-2x^2+5>0$$, поэтому

   $$\int\limits_{-1}^1 \left(|3x^4-2x^2+5|-\frac{3x+2}{x+2}\right)\,dx = \int\limits_{-1}^1 \left(3x^4-2x^2+5-\frac{3x+2}{x+2}\right)\,dx.$$

   Преобразуем дробь:

   $$\frac{3x+2}{x+2}=3-\frac{4}{x+2}.$$

   Тогда

   $$\int\limits_{-1}^1 \left(3x^4-2x^2+2+\frac{4}{x+2}\right)\,dx = \left(\frac{3x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+2x+4\ln|x+2|\right)\Bigg|_{-1}^1.$$

   $$\left(\frac35-\frac23+2+4\ln 3\right)-\left(-\frac35+\frac23-2+4\ln 1\right) = \frac{76}{15}+4\ln 3.$$

4. г) На отрезке $$[-1;2]$$ имеем $$x^4-9x^2=x^2(x^2-9)\le 0$$, значит

   $$|x^4-9x^2|=9x^2-x^4.$$

   Кроме того,

   $$\frac{x}{3x+6}=\frac{x}{3(x+2)}=\frac13-\frac{2}{3(x+2)}.$$

   Тогда

   $$\int\limits_{-1}^2 \left(\frac{x}{3x+6}+|x^4-9x^2|\right)\,dx = \int\limits_{-1}^2 \left(\frac13-\frac{2}{3(x+2)}+9x^2-x^4\right)\,dx.$$

   $$\left(\frac{x}{3}-\frac23\ln|x+2|-\frac{x^5}{5}+3x^3\right)\Bigg|_{-1}^2.$$

   Подставим пределы:

   $$\left(\frac23-\frac23\ln 4-\frac{32}{5}+24\right) — \left(-\frac13-\frac23\ln 1+\frac15-3\right).$$

   $$=\frac{124}{15}-\frac23\ln 4 = \frac{124}{15}-\frac43\ln 2.$$

Ответ

а) $$\frac{13}{3}+3\ln\frac23$$; б) $$\frac{68}{3}+9\ln 5$$; в) $$\frac{76}{15}+4\ln 3$$; г) $$\frac{124}{15}-\frac43\ln 2$$.