Упр.23.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Вычислите:
а) $$\int_0^4 \left(x^2+|x-2|\right)\,dx$$; в) $$\int_1^3 \left(2x^3+|x^3-8|\right)\,dx$$; б) $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(|\cos x|+\frac{1}{\pi}\right)\,dx$$; г) $$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \left(2\sin(2x)-|\sin(2x)|\right)\,dx$$.
а) На отрезке $$[0;4]$$ модуль раскрывается по-разному при $$x=2$$:
$$|x-2|=\begin{cases} 2-x, & 0\le x\le 2,\\ x-2, & 2\le x\le 4. \end{cases}$$
Тогда
$$\int\limits_0^4 \left(x^2+|x-2|\right)\,dx = \int\limits_0^2 (x^2-x+2)\,dx + \int\limits_2^4 (x^2+x-2)\,dx.$$$$\int (x^2-x+2)\,dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x, \qquad \int (x^2+x-2)\,dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x.$$
$$\int\limits_0^2 (x^2-x+2)\,dx = \left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_0^2 = \frac{8}{3}-2+4 = \frac{14}{3},$$
$$\int\limits_2^4 (x^2+x-2)\,dx = \left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right)\Bigg|_2^4 = \left(\frac{64}{3}+8-8\right)-\left(\frac{8}{3}+2-4\right) = \frac{50}{3}.$$$$\int\limits_0^4 \left(x^2+|x-2|\right)\,dx = \frac{14}{3}+\frac{50}{3} = \frac{64}{3}.$$
б) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$\cos x\ge 0$$, значит $$|\cos x|=\cos x$$.
$$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(|\cos x|+\frac{1}{\pi}\right)\,dx = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\cos x+\frac{1}{\pi}\right)\,dx.$$
$$\int \left(\cos x+\frac{1}{\pi}\right)\,dx = \sin x+\frac{x}{\pi}.$$
$$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\cos x+\frac{1}{\pi}\right)\,dx = \left(\sin x+\frac{x}{\pi}\right)\Bigg|_{-\pi/2}^{\pi/2} = \left(1+\frac12\right)-\left(-1-\frac12\right) = 3.$$
в) На отрезке $$[1;3]$$ выражение $$x^3-8$$ меняет знак при $$x=2$$.
$$|x^3-8|= \begin{cases} 8-x^3, & 1\le x\le 2,\\ x^3-8, & 2\le x\le 3. \end{cases}$$
Тогда
$$\int\limits_1^3 \left(2x^3+|x^3-8|\right)\,dx = \int\limits_1^2 (8+x^3)\,dx + \int\limits_2^3 (3x^3-8)\,dx.$$$$\int (8+x^3)\,dx=8x+\frac{x^4}{4}, \qquad \int (3x^3-8)\,dx=\frac{3x^4}{4}-8x.$$
$$\int\limits_1^2 (8+x^3)\,dx = \left(8x+\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_1^2 = \left(16+4\right)-\left(8+\frac14\right) = \frac{47}{4},$$
$$\int\limits_2^3 (3x^3-8)\,dx = \left(\frac{3x^4}{4}-8x\right)\Bigg|_2^3 = \left(\frac{243}{4}-24\right)-\left(12-16\right) = \frac{211}{4}.$$$$\int\limits_1^3 \left(2x^3+|x^3-8|\right)\,dx = \frac{47}{4}+\frac{211}{4} = \frac{258}{4} = \frac{129}{2}.$$
г) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{4}\right]$$ функция $$\sin 2x$$ меняет знак при $$x=0$$.
$$|\sin 2x|= \begin{cases} -\sin 2x, & -\frac{\pi}{6}\le x\le 0,\\ \sin 2x, & 0\le x\le \frac{\pi}{4}. \end{cases}$$
Поэтому
$$\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/4}\left(2\sin 2x-|\sin 2x|\right)\,dx = \int\limits_{-\pi/6}^{0} 3\sin 2x\,dx + \int\limits_{0}^{\pi/4} \sin 2x\,dx.$$$$\int 3\sin 2x\,dx=-\frac{3}{2}\cos 2x, \qquad \int \sin 2x\,dx=-\frac12\cos 2x.$$
$$\int\limits_{-\pi/6}^{0} 3\sin 2x\,dx = -\frac{3}{2}\cos 2x\Bigg|_{-\pi/6}^{0} = -\frac{3}{2}+\frac{3}{4} = -\frac{3}{4},$$
$$\int\limits_{0}^{\pi/4} \sin 2x\,dx = -\frac12\cos 2x\Bigg|_{0}^{\pi/4} = 0+\frac12 = \frac12.$$$$\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/4}\left(2\sin 2x-|\sin 2x|\right)\,dx = -\frac{3}{4}+\frac12 = -\frac14.$$
Ответ
а) $$\frac{64}{3}$$; б) $$3$$; в) $$\frac{129}{2}$$; г) $$-\frac14$$.
