Упр.23.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Используя аддитивное свойство определённого интеграла, вычислите $$\int_a^b f(x)\,dx$$:
а) $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{\cos^2 x},&-\dfrac{\pi}{4}\le x\le 0,\\1+\sin x,&0 б) $$f(x)=\begin{cases}\cos x,&0\le x\le\dfrac{\pi}{2},\\\dfrac{1}{\sin^2 x}-1,&\dfrac{\pi}{2}

Подробный ответ

а) Разобьём интеграл по точке смены задания функции:

$$\int_{-\pi/4}^{\pi/3} f(x)\,dx = \int_{-\pi/4}^{0}\frac{1}{\cos^2 x}\,dx + \int_{0}^{\pi/3}(1+\sin x)\,dx.$$

Вычислим каждый интеграл:

$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x,\qquad \int (1+\sin x)\,dx=x-\cos x.$$

Тогда

$$\int_{-\pi/4}^{0}\frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tg x\Big|_{-\pi/4}^{0} = 0-(-1)=1,$$

$$\int_{0}^{\pi/3}(1+\sin x)\,dx = (x-\cos x)\Big|_{0}^{\pi/3} = \left(\frac{\pi}{3}-\frac12\right)-(0-1) = \frac{\pi}{3}+\frac12.$$

Складываем:

$$\int_{-\pi/4}^{\pi/3} f(x)\,dx = 1+\frac{\pi}{3}+\frac12 = \frac32+\frac{\pi}{3}.$$

б) Аналогично разобьём интеграл:

$$\int_{0}^{3\pi/4} f(x)\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/4}\left(\frac{1}{\sin^2 x}-1\right)\,dx.$$

Найдём первообразные:

$$\int \cos x\,dx=\sin x,\qquad \int\left(\frac{1}{\sin^2 x}-1\right)\,dx=-\ctg x-x.$$

Тогда

$$\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx = \sin x\Big|_{0}^{\pi/2} = 1-0=1,$$

$$\int_{\pi/2}^{3\pi/4}\left(\frac{1}{\sin^2 x}-1\right)\,dx = (-\ctg x-x)\Big|_{\pi/2}^{3\pi/4} = \left(-\ctg\frac{3\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)-\left(-\ctg\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right).$$

Так как $$\ctg\frac{3\pi}{4}=-1$$, $$\ctg\frac{\pi}{2}=0$$, получаем:

$$\left(1-\frac{3\pi}{4}\right)-\left(0-\frac{\pi}{2}\right) = 1-\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2} = 1-\frac{\pi}{4}.$$

Следовательно,

$$\int_{0}^{3\pi/4} f(x)\,dx = 1+\left(1-\frac{\pi}{4}\right) = 2-\frac{\pi}{4}.$$