Упр.23.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)={1/cos^2(x), -?/4?x?0; 1+sin(x), 0

а) Разобьём интеграл по точке смены задания функции:

$$ \int_{-\pi/4}^{\pi/3} f(x)\,dx = \int_{-\pi/4}^{0}\frac{1}{\cos^2 x}\,dx + \int_{0}^{\pi/3}(1+\sin x)\,dx. $$

Вычислим каждый интеграл:

$$ \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x,\qquad \int (1+\sin x)\,dx=x-\cos x. $$

Тогда

$$ \int_{-\pi/4}^{0}\frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tg x\Big|_{-\pi/4}^{0} = 0-(-1)=1, $$

$$ \int_{0}^{\pi/3}(1+\sin x)\,dx = (x-\cos x)\Big|_{0}^{\pi/3} = \left(\frac{\pi}{3}-\frac12\right)-(0-1) = \frac{\pi}{3}+\frac12. $$

Складываем:

$$ \int_{-\pi/4}^{\pi/3} f(x)\,dx = 1+\frac{\pi}{3}+\frac12 = \frac32+\frac{\pi}{3}. $$

б) Аналогично разобьём интеграл:

$$ \int_{0}^{3\pi/4} f(x)\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/4}\left(\frac{1}{\sin^2 x}-1\right)\,dx. $$

Найдём первообразные:

$$ \int \cos x\,dx=\sin x,\qquad \int\left(\frac{1}{\sin^2 x}-1\right)\,dx=-\ctg x-x. $$

Тогда

$$ \int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx = \sin x\Big|_{0}^{\pi/2} = 1-0=1, $$

$$ \int_{\pi/2}^{3\pi/4}\left(\frac{1}{\sin^2 x}-1\right)\,dx = (-\ctg x-x)\Big|_{\pi/2}^{3\pi/4} = \left(-\ctg\frac{3\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)-\left(-\ctg\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right). $$

Так как $$\ctg\frac{3\pi}{4}=-1$$, $$\ctg\frac{\pi}{2}=0$$, получаем:

$$ \left(1-\frac{3\pi}{4}\right)-\left(0-\frac{\pi}{2}\right) = 1-\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2} = 1-\frac{\pi}{4}. $$

Следовательно,

$$ \int_{0}^{3\pi/4} f(x)\,dx = 1+\left(1-\frac{\pi}{4}\right) = 2-\frac{\pi}{4}. $$

Ответ

а) $$\frac{3}{2}+\frac{\pi}{3}$$; б) $$2-\frac{\pi}{4}$$.