Упр.23.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)={x+1, -2?x?0; (x-1)^2, 0

а) Разобьём интеграл по точке разрыва функции:

$$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx=\int_{-2}^{0}(x+1)\,dx+\int_{0}^{1}(x-1)^2\,dx.$$

Вычислим:

$$\int_{-2}^{0}(x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Bigg|_{-2}^{0}=0-\left(2-2\right)=0,$$

$$\int_{0}^{1}(x-1)^2\,dx=\frac{(x-1)^3}{3}\Bigg|_{0}^{1}=0-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx=0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$$

б) Аналогично:

$$\int_{0}^{6} f(x)\,dx=\int_{0}^{2}x^2\,dx+\int_{2}^{6}(6-x)\,dx.$$

Вычислим:

$$\int_{0}^{2}x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Bigg|_{0}^{2}=\frac{8}{3},$$

$$\int_{2}^{6}(6-x)\,dx=\left(6x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{2}^{6}=\left(36-\frac{36}{2}\right)-\left(12-\frac{4}{2}\right)=8.$$

Следовательно,

$$\int_{0}^{6} f(x)\,dx=\frac{8}{3}+8=\frac{32}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{3}$$; б) $$\frac{32}{3}$$.