Упр.23.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Дан прямолинейный неоднородный стержень длиной $$1\ \text{м}$$. Найдите массу стержня, если известна плотность $$\rho(x)$$ в точке $$x$$ (считая от начала стержня): а) $$\rho(x)=\sin^4 x$$; б) $$\rho(x)=\frac{3x+2}{x+1}$$.

Масса стержня находится по формуле

$$m=\int_0^1 \rho(x)\,dx.$$

1. Если $$\rho(x)=\sin^4 x,$$ то используем формулу

   $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$

   Тогда

   $$\sin^4 x=\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2 =\frac{1-2\cos 2x+\cos^2 2x}{4} =\frac{3-4\cos 2x+\cos 4x}{8}.$$

   Следовательно,

   $$m=\int_0^1 \sin^4 x\,dx =\frac18\int_0^1 \left(3-4\cos 2x+\cos 4x\right)\,dx.$$

   Интегрируем:

   $$m=\frac18\left(3x-2\sin 2x+\frac14\sin 4x\right)\Bigg|_0^1.$$

   Подставляем пределы:

   $$m=\frac18\left(3-2\sin 2+\frac14\sin 4\right).$$

   Итак,

   $$m=\frac38-\frac14\sin 2+\frac1{32}\sin 4.$$

2. Если $$\rho(x)=\frac{3x+2}{x+1},$$ то преобразуем дробь:

   $$\frac{3x+2}{x+1}=3-\frac1{x+1}.$$

   Тогда

   $$m=\int_0^1 \left(3-\frac1{x+1}\right)\,dx =\left(3x-\ln|x+1|\right)\Bigg|_0^1.$$

   Вычисляем:

   $$m=(3-\ln 2)-(0-\ln 1)=3-\ln 2.$$

Ответ

а) $$\frac38-\frac14\sin 2+\frac1{32}\sin 4$$; б) $$3-\ln 2$$.