Упр.23.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Криволинейный треугольник ограничен прямыми x = 1, y = 0 и графиком функции y = arcsin x. Вычислите площадь этого треугольника.

а) Площадь одной арки синусоиды $$y=\sin x$$, ограниченной осью абсцисс, найдём по определённому интегралу:

$$ S=\int\limits_{0}^{\pi}\sin x\,dx $$

$$ \int \sin x\,dx=-\cos x $$

$$ S=-\cos x\Big|_{0}^{\pi}=-\cos \pi+\cos 0=1+1=2 $$

Следовательно, площадь равна $$2$$.

б) Криволинейный треугольник ограничен прямыми $$x=1$$, $$y=0$$ и графиком функции $$y=\arcsin x$$. Так как $$\arcsin x=0$$ при $$x=0$$, то искомая площадь:

$$ S=\int\limits_{0}^{1}\arcsin x\,dx $$

Интегрируем по частям:

$$ \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx $$

$$ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\sqrt{1-x^2} $$

Значит,
$$ \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2} $$

$$ S=\Bigl(x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}\Bigr)\Big|_{0}^{1} $$

$$ S=\left(1\cdot \frac{\pi}{2}+0\right)-\left(0+1\right)=\frac{\pi}{2}-1 $$

Ответ

а) $$2$$; б) $$\frac{\pi}{2}-1$$.