Упр.23.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- а) Докажите, что площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой синусоиды $$y=\sin x$$, равна 2.
б) Криволинейный треугольник ограничен прямыми $$x=1$$, $$y=0$$ и графиком функции $$y=\arcsin x$$. Вычислите площадь этого треугольника.
а) Площадь одной арки синусоиды $$y=\sin x$$, ограниченной осью абсцисс, найдём по определённому интегралу:
$$S=\int\limits_{0}^{\pi}\sin x\,dx$$
$$\int \sin x\,dx=-\cos x$$
$$S=-\cos x\Big|_{0}^{\pi}=-\cos \pi+\cos 0=1+1=2$$
Следовательно, площадь равна $$2$$.
б) Криволинейный треугольник ограничен прямыми $$x=1$$, $$y=0$$ и графиком функции $$y=\arcsin x$$. Так как $$\arcsin x=0$$ при $$x=0$$, то искомая площадь:
$$S=\int\limits_{0}^{1}\arcsin x\,dx$$
Интегрируем по частям:
$$\int \arcsin x\,dx=x\arcsin x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$
$$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=-\sqrt{1-x^2}$$
Значит,
$$\int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}$$
$$S=\Bigl(x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}\Bigr)\Big|_{0}^{1}$$
$$S=\left(1\cdot \frac{\pi}{2}+0\right)-\left(0+1\right)=\frac{\pi}{2}-1$$
Ответ
а) $$2$$; б) $$\frac{\pi}{2}-1$$.
