Упр.23.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Используя аддитивное свойство определённого интеграла, вычислите $$\int_a^b f(x)\,dx$$:
   
   а) $$f(x)=\begin{cases} \sqrt[3]{1-2x}, & -3{,}5\leq x\leq 0,\\ \dfrac{1}{x+1}, & 0 б) $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{9-x}, & 5\leq x\leq 8,\\ \dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}, & 8

1. а) Разобьём интеграл по точке разрыва функции:

   $$\int_{-3,5}^{1} f(x)\,dx=\int_{-3,5}^{0}\sqrt[3]{1-2x}\,dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx.$$

   Вычислим первый интеграл заменой $$u=1-2x,$$ тогда $$du=-2\,dx,$$ и

   $$\int \sqrt[3]{1-2x}\,dx=-\frac{1}{2}\int u^{1/3}\,du=-\frac{3}{8}u^{4/3}=-\frac{3}{8}\sqrt[3]{(1-2x)^4}.$$

   Тогда

   $$\int_{-3,5}^{0}\sqrt[3]{1-2x}\,dx=-\frac{3}{8}\sqrt[3]{1^4}+\frac{3}{8}\sqrt[3]{8^4}=\frac{3(15-1)}{8}=\frac{21}{4}.$$

   Второй интеграл:

   $$\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|\Big|_{0}^{1}=\ln 2-\ln 1=\ln 2.$$

   Следовательно,

   $$\int_{-3,5}^{1} f(x)\,dx=\frac{21}{4}+\ln 2=5\frac{5}{8}+\ln 2.$$

2. б) Аналогично:

   $$\int_{5}^{27} f(x)\,dx=\int_{5}^{8}\frac{1}{9-x}\,dx+\int_{8}^{27}\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\,dx.$$

   Первый интеграл:

   $$\int \frac{1}{9-x}\,dx=-\ln|9-x|,$$

   поэтому

   $$\int_{5}^{8}\frac{1}{9-x}\,dx=-\ln|9-x|\Big|_{5}^{8}=-\ln 1+\ln 4=\ln 4.$$

   Второй интеграл:

   $$\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\,dx=2\int x^{-1/3}\,dx=2\cdot \frac{3}{2}x^{2/3}=3\sqrt[3]{x^2}.$$

   Тогда

   $$\int_{8}^{27}\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\,dx=3\sqrt[3]{27^2}-3\sqrt[3]{8^2}=3\cdot 9-3\cdot 4=27-12=15.$$

   Итак,

   $$\int_{5}^{27} f(x)\,dx=\ln 4+15.$$

Ответ

а) $$5\frac{5}{8}+\ln 2$$; б) $$15+\ln 4$$.