Упр.23.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Точка движется по координатной прямой со скоростью $$v=v(t)$$, где $$t$$ — время в с, а $$v$$ — скорость в см/с. Найдите путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения, если:
а) $$v(t)=2t+4$$;
г) $$v(t)=4t-1$$;
б) $$v(t)=3t^2-2t+1$$;
д) $$v(t)=2t^3-6t^2-t$$;
в) $$v(t)=\frac{1}{2v(4t+5)}$$;
е) $$v(t)=\frac{4}{v(2t+6)}$$.
а) $$s=\int_0^5 (2t+4)\,dt=\left(t^2+4t\right)\Big|_0^5=25+20=45.$$
Ответ: $$45\text{ см}.$$
б) $$s=\int_0^5 (3t^2-2t+1)\,dt=\left(t^3-t^2+t\right)\Big|_0^5=125-25+5=105.$$
Ответ: $$105\text{ см}.$$
в) $$v(t)=\frac{1}{2\sqrt{4t+5}}.$$
Тогда
$$s=\int_0^5 \frac{dt}{2\sqrt{4t+5}}.$$
Сделаем замену: $$u=4t+5,\quad du=4\,dt,\quad dt=\frac{du}{4}.$$
При $$t=0$$ имеем $$u=5,$$ при $$t=5$$ имеем $$u=25.$$ Тогда
$$s=\int_5^{25}\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot \frac{du}{4}=\frac18\int_5^{25}u^{-1/2}\,du=\frac18\cdot 2\sqrt{u}\Big|_5^{25}=\frac14(5-\sqrt5).$$
Ответ: $$\frac{5-\sqrt5}{4}\text{ см}.$$
г) $$s=\int_0^5 (4t-1)\,dt=\left(2t^2-t\right)\Big|_0^5=50-5=45.$$
Ответ: $$45\text{ см}.$$
д) $$s=\int_0^5 (2t^3-6t^2-t)\,dt=\left(\frac{t^4}{2}-2t^3-\frac{t^2}{2}\right)\Big|_0^5.$$
$$s=\frac{5^4}{2}-2\cdot 5^3-\frac{5^2}{2}=312{,}5-250-12{,}5=50.$$
Ответ: $$50\text{ см}.$$
е) $$v(t)=\frac{4}{\sqrt{2t+6}}.$$
Тогда
$$s=\int_0^5 \frac{4\,dt}{\sqrt{2t+6}}.$$
Сделаем замену: $$u=2t+6,\quad du=2\,dt,\quad dt=\frac{du}{2}.$$
При $$t=0$$ имеем $$u=6,$$ при $$t=5$$ имеем $$u=16.$$ Тогда
$$s=\int_6^{16}\frac{4}{\sqrt{u}}\cdot \frac{du}{2}=2\int_6^{16}u^{-1/2}\,du=2\cdot 2\sqrt{u}\Big|_6^{16}=4(4-\sqrt6).$$
Ответ: $$4(4-\sqrt6)\text{ см}.$$
