Упр.23.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) ?((?/6; 2?); (sin(x) cos(2x — ?/3) + cos(x) sin(2x — ?/3)) dx);
б) ?((0; ?/4); (sin(3x) cos(3x) + sin^2(5x)) dx);
в) ?((?/8; ?/6); (sin(5x) cos(3x) + cos(3?/2+2x)) dx);
г) ?((?/12; 7?/4); (cos(x + ?/3) cos(x — 5?/6) — sin(x + ?/3) sin(x — 5?/6)) dx);
д) ?((0; ?); (cos^2(3x/2) — sin(x) cos(x) cos(2x)) dx);
е) ?((2?; 2,5?); (2sin(x — ?) + 2sin(3?/2 — x) cos(4? + 5x)) dx). Найдите расстояние между двумя касательными, проведёнными к графику данной функции перпендикулярно оси ординат:
а) y=(1/3)x^3+2x^2-5x-1/3; б) y=x^3-3x^2-9x+1.
а)
$$\int\limits_{\pi/6}^{2\pi}\left(\sin x\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+\cos x\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\right)\,dx =\int\limits_{\pi/6}^{2\pi}\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\,dx.$$
$$\int \sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\,dx=-\frac13\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right).$$
$$A=-\frac13\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\Bigg|_{\pi/6}^{2\pi} =-\frac13\cos\frac{17\pi}{3}+\frac13\cos\frac{\pi}{6} =-\frac13\cdot\frac12+\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3-1}{6}.$$
б)
$$\int\limits_{0}^{\pi/4}\left(\sin 3x\cos 3x+\sin^2 5x\right)\,dx.$$
Используем формулы:
$$\sin 3x\cos 3x=\frac12\sin 6x,\qquad \sin^2 5x=\frac{1-\cos 10x}{2}.$$$$\int\limits_{0}^{\pi/4}\left(\frac12\sin 6x+\frac12-\frac12\cos 10x\right)\,dx.$$
$$A=\left(-\frac1{12}\cos 6x+\frac{x}{2}-\frac1{20}\sin 10x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/4}.$$
$$A=\left(-\frac1{12}\cos\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{8}-\frac1{20}\sin\frac{5\pi}{2}\right)-\left(-\frac1{12}\cos 0\right) =\frac{\pi}{8}-\frac1{20}+\frac1{12} =\frac{\pi}{8}+\frac1{30}.$$
в)
$$\int\limits_{\pi/8}^{\pi/6}\left(\sin 5x\cos 3x+\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)\right)\,dx.$$
$$\sin 5x\cos 3x=\frac12\left(\sin 8x+\sin 2x\right),\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=\sin 2x.$$
Тогда
$$\int\limits_{\pi/8}^{\pi/6}\left(\frac12\sin 8x+\frac32\sin 2x\right)\,dx.$$$$A=\left(-\frac1{16}\cos 8x-\frac34\cos 2x\right)\Bigg|_{\pi/8}^{\pi/6}.$$
$$A=\left(-\frac1{16}\cos\frac{4\pi}{3}-\frac34\cos\frac{\pi}{3}\right) -\left(-\frac1{16}\cos\pi-\frac34\cos\frac{\pi}{4}\right) =\frac{12\sqrt2-13}{32}.$$
г)
$$\int\limits_{\pi/12}^{7\pi/4}\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{5\pi}{6}\right)-\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x-\frac{5\pi}{6}\right)\right)\,dx.$$
По формуле косинуса суммы:
$$\cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos(A+B).$$$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin 2x.$$
Тогда
$$A=\int\limits_{\pi/12}^{7\pi/4}\sin 2x\,dx =-\frac12\cos 2x\Bigg|_{\pi/12}^{7\pi/4}.$$$$A=-\frac12\cos\frac{7\pi}{2}+\frac12\cos\frac{\pi}{6} =0+\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{4}.$$
д)
$$\int\limits_{0}^{\pi}\left(\cos^2\frac{3x}{2}-\sin x\cos x\cos 2x\right)\,dx.$$
Используем формулы:
$$\cos^2\frac{3x}{2}=\frac{1+\cos 3x}{2},\qquad \sin x\cos x=\frac12\sin 2x,\qquad \sin 2x\cos 2x=\frac12\sin 4x.$$Тогда
$$\int\limits_{0}^{\pi}\left(\frac{1+\cos 3x}{2}-\frac14\sin 4x\right)\,dx.$$$$A=\left(\frac{x}{2}+\frac16\sin 3x+\frac1{16}\cos 4x\right)\Bigg|_{0}^{\pi}.$$
$$A=\frac{\pi}{2}+\frac1{16}\cos 4\pi-\frac1{16}\cos 0=\frac{\pi}{2}.$$
е)
$$\int\limits_{2\pi}^{2.5\pi}\left(2\sin(x-\pi)+2\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\cos(4\pi+5x)\right)\,dx.$$
$$\sin(x-\pi)=-\sin x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x,\qquad \cos(4\pi+5x)=\cos 5x.$$
Тогда
$$A=\int\limits_{2\pi}^{2.5\pi}\left(-2\sin x-2\cos x\cos 5x\right)\,dx.$$$$\cos x\cos 5x=\frac12(\cos 6x+\cos 4x),$$
значит
$$A=-\int\limits_{2\pi}^{2.5\pi}\left(2\sin x+\cos 6x+\cos 4x\right)\,dx.$$$$A=\left(2\cos x-\frac16\sin 6x-\frac14\sin 4x\right)\Bigg|_{2\pi}^{2.5\pi}.$$
$$A=2\cos\frac{5\pi}{2}-2\cos 2\pi=-2.$$
а)
$$y=\frac13x^3+2x^2-5x-\frac13.$$
Касательные перпендикулярны оси ординат, значит они горизонтальны, то есть
$$y'(x)=0.$$$$y'(x)=x^2+4x-5=0,$$
$$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)=0.$$$$x_1=-5,\qquad x_2=1.$$
$$y(-5)=\frac13(-125)+2\cdot25-5(-5)-\frac13=33,$$
$$y(1)=\frac13+2-5-\frac13=-3.$$Расстояние между горизонтальными касательными равно разности их ординат:
$$d=33-(-3)=36.$$б)
$$y=x^3-3x^2-9x+1.$$
$$y'(x)=3x^2-6x-9=0,$$
$$x^2-2x-3=0,$$
$$ (x+1)(x-3)=0.$$$$x_1=-1,\qquad x_2=3.$$
$$y(-1)=-1-3+9+1=6,$$
$$y(3)=27-27-27+1=-26.$$$$d=6-(-26)=32.$$
Ответ
а) $$\frac{\sqrt3-1}{6}$$; б) $$\frac{\pi}{8}+\frac1{30}$$; в) $$\frac{12\sqrt2-13}{32}$$; г) $$\frac{\sqrt3}{4}$$; д) $$\frac{\pi}{2}$$; е) $$-2$$; расстояние: а) $$36$$, б) $$32$$.
