Упр.23.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) ?((3; 5); (4x^2 + 10x + 25) / (8x^3 — 125) dx);
б) ?((3; 5); (9x^2 — 12x + 4) / (27x^3 — 54x^2 + 36x — 8) dx);
в) ?((2; 4); (2x^2 — x — 6) / (2x^2 + x — 3) dx);
г) ?((0; 5); (9x^2 + 1 — 3x) / (27x^3 + 1) dx);
д) ?((1; 2); (12x^2 + 3 + 12x) / (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) dx);
д) ?((6; 8); (3x^2 + 2x — 1) / (x^2 — 4x — 5) dx). Решите неравенство:
а) log_(x-2)(8-x)<0;
б) log_(3x)(x-6)>0.
а) $$\int\limits_3^5 \frac{4x^2+10x+25}{8x^3-125}\,dx$$
Заметим, что $$8x^3-125=(2x-5)(4x^2+10x+25).$$ Тогда
$$\int\limits_3^5 \frac{4x^2+10x+25}{8x^3-125}\,dx=\int\limits_3^5 \frac{dx}{2x-5}=\frac12\ln|2x-5|\Big|_3^5.$$
$$\frac12\ln|2\cdot 5-5|-\frac12\ln|2\cdot 3-5|=\frac12\ln 5.$$
б) $$\int\limits_3^5 \frac{9x^2-12x+4}{27x^3-54x^2+36x-8}\,dx$$
Так как $$27x^3-54x^2+36x-8=(3x-2)^3,$$ а $$9x^2-12x+4=(3x-2)^2,$$ то
$$\int\limits_3^5 \frac{9x^2-12x+4}{27x^3-54x^2+36x-8}\,dx=\int\limits_3^5 \frac{dx}{3x-2}=\frac13\ln|3x-2|\Big|_3^5.$$
$$\frac13\ln|3\cdot 5-2|-\frac13\ln|3\cdot 3-2|=\frac13\ln\frac{13}{7}.$$
в) $$\int\limits_2^4 \frac{2x^2-x-6}{2x^2+x-3}\,dx$$
Разложим на множители:
$$2x^2-x-6=(2x+3)(x-2), \qquad 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1).$$
Тогда
$$\int\limits_2^4 \frac{2x^2-x-6}{2x^2+x-3}\,dx=\int\limits_2^4 \frac{x-2}{x-1}\,dx=\int\limits_2^4 \left(1-\frac1{x-1}\right)dx.$$
$$\int\left(1-\frac1{x-1}\right)dx=x-\ln|x-1|.$$
$$\left(x-\ln|x-1|\right)\Big|_2^4=4-\ln 3-(2-\ln 1)=2-\ln 3.$$
г) $$\int\limits_0^5 \frac{9x^2-3x+1}{27x^3+1}\,dx$$
Так как $$27x^3+1=(3x+1)(9x^2-3x+1),$$ то
$$\int\limits_0^5 \frac{9x^2-3x+1}{27x^3+1}\,dx=\int\limits_0^5 \frac{dx}{3x+1}=\frac13\ln|3x+1|\Big|_0^5.$$
$$\frac13\ln 16-\frac13\ln 1=\frac13\ln 16.$$
д) $$\int\limits_1^2 \frac{12x^2+12x+3}{8x^3+12x^2+6x+1}\,dx$$
Заметим, что $$8x^3+12x^2+6x+1=(2x+1)^3,$$ а $$12x^2+12x+3=3(2x+1)^2.$$ Тогда
$$\int\limits_1^2 \frac{12x^2+12x+3}{8x^3+12x^2+6x+1}\,dx=\int\limits_1^2 \frac{3\,dx}{2x+1}=\frac32\ln|2x+1|\Big|_1^2.$$
$$\frac32\ln 5-\frac32\ln 3=\frac32\ln\frac53.$$
е) $$\int\limits_6^8 \frac{3x^2+2x-1}{x^2-4x-5}\,dx$$
Разложим на множители:
$$3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1), \qquad x^2-4x-5=(x-5)(x+1).$$
Тогда
$$\int\limits_6^8 \frac{3x^2+2x-1}{x^2-4x-5}\,dx=\int\limits_6^8 \frac{3x-1}{x-5}\,dx=\int\limits_6^8 \left(3+\frac{14}{x-5}\right)dx.$$
$$\int\left(3+\frac{14}{x-5}\right)dx=3x+14\ln|x-5|.$$
$$\left(3x+14\ln|x-5|\right)\Big|_6^8=24+14\ln 3-18=6+14\ln 3.$$
а) $$\log_{x-2}(8-x)<0$$
Область определения:
$$x-2>0,\quad x-2\ne 1,\quad 8-x>0.$$
Отсюда $$x>2,\ x\ne 3,\ x<8.$$
Рассмотрим два случая:
1) если $$x>3,$$ то основание $$x-2>1,$$ значит
$$\log_{x-2}(8-x)<0 \iff 0<8-x<1 \iff 7<x<8.$$
2) если $$2<x<3,$$ то $$0<x-2<1,$$ и неравенство $$\log_{x-2}(8-x)<0$$ выполняется при
$$8-x>1 \iff x<7,$$ что верно для всех $$x\in(2,3).$$
Итак,
$$x\in(2,3)\cup(7,8).$$
б) $$\log_{3x}(x-6)>0$$
Область определения:
$$3x>0,\quad 3x\ne 1,\quad x-6>0.$$
Отсюда $$x>0,\ x\ne \frac13,\ x>6.$$
Так как при $$x>6$$ имеем $$3x>1,$$ то основание логарифма больше 1, и
$$\log_{3x}(x-6)>0 \iff x-6>1 \iff x>7.$$
С учётом ОДЗ получаем
$$x\in(7;+\infty).$$
Ответ
а) $$\frac12\ln 5$$; б) $$\frac13\ln\frac{13}{7}$$; в) $$2-\ln 3$$; г) $$\frac13\ln 16$$; д) $$\frac32\ln\frac53$$; е) $$6+14\ln 3$$; а) $$ (2;3)\cup(7;8)$$; б) $$ (7;+\infty)$$.
