Упр.23.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) $$\int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2}$$;
в) $$\int_0^1 \left(\frac{2}{1+x^2}-\frac{\pi}{2}\right)\,dx$$;
б) $$\int_{-0,5}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$;
г) $$\int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{3\,dx}{\sqrt{1-x^2}}$$. - Найдите значение выражения:
а) $$\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ$$;
б) $$\sin 10^\circ\cos 20^\circ\cos 40^\circ$$.
а) Используем формулу первообразной:
$$\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctg x + C.$$
Тогда
$$\int\limits_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2} = \arctg x \Big|_{-1}^{\sqrt{3}} = \arctg \sqrt{3}-\arctg(-1).$$
$$\arctg \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}, \qquad \arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}.$$
$$\int\limits_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}.$$
б) Используем формулу:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C.$$
$$\int\limits_{-0{,}5}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x \Big|_{-0{,}5}^{1} = \arcsin 1-\arcsin(-0{,}5).$$
$$\arcsin 1=\frac{\pi}{2}, \qquad \arcsin(-0{,}5)=-\frac{\pi}{6}.$$
$$\int\limits_{-0{,}5}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}.$$
в)
$$\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{2}{1+x^2}-\frac{\pi}{2}\right)dx = \left(2\arctg x-\frac{\pi}{2}x\right)\Big|_{0}^{1}.$$
$$\left(2\arctg 1-\frac{\pi}{2}\right)-\left(2\arctg 0-0\right) = \left(2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\right)-0 = 0.$$
г)
$$\int\limits_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{3\,dx}{\sqrt{1-x^2}} = 3\arcsin x \Big|_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}.$$
$$3\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}-3\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\cdot\frac{\pi}{4}-3\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{7\pi}{4}.$$
а)
$$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{8\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{8\sin 20^\circ}.$$
$$8\sin 20^\circ \cos 20^\circ = 4\sin 40^\circ,$$
$$4\sin 40^\circ \cos 40^\circ = 2\sin 80^\circ,$$
$$2\sin 80^\circ \cos 80^\circ = \sin 160^\circ.$$
Значит,
$$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin 20^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac18.$$
б)
$$\sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{8\sin 10^\circ \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{8\cos 10^\circ}.$$
$$8\sin 10^\circ \cos 10^\circ = 4\sin 20^\circ,$$
$$4\sin 20^\circ \cos 20^\circ = 2\sin 40^\circ,$$
$$2\sin 40^\circ \cos 40^\circ = \sin 80^\circ.$$
Тогда
$$\sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{\sin 80^\circ}{8\cos 10^\circ} = \frac{\sin 80^\circ}{8\sin 80^\circ} = \frac18.$$
Ответ
$$\text{а) } \frac{7\pi}{12}; \quad \text{б) } \frac{2\pi}{3}; \quad \text{в) } 0; \quad \text{г) } \frac{7\pi}{4}; \quad \text{а) } \frac18; \quad \text{б) } \frac18.$$
