Упр.23.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (1,e)?(2/x)dx; в) (3,4)?1/(x-2)dx; д) (0,1)?1/(5-4x)dx;
б) (1,e^2)?(1/x)dx; г) (0,2)?3/(3-x)dx; е) (2/3,1)?1/(3x-1)dx. а) Криволинейная фигура ограничена кривой y=-x^3+6x^2-9x и касательной к ней, проведённой в точке (3; 0). Найдите площадь данной фигуры.
б) Криволинейная фигура ограничена кривой y=x^3-x^2-x+1 и касательной к ней, проведённой в точке (1; 0). Найдите площадь данной фигуры.

1. а)

   $$\int\limits_{1}^{e}\frac{2}{x}\,dx=2\int\limits_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx=2\ln|x|\Big|_{1}^{e}=2\ln e-2\ln 1=2.$$

2. б)

   $$\int\limits_{1}^{e^2}\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|\Big|_{1}^{e^2}=\ln e^2-\ln 1=2.$$

3. в)

   $$\int\limits_{3}^{4}\frac{dx}{x-2}=\ln|x-2|\Big|_{3}^{4}=\ln 2-\ln 1=\ln 2.$$

4. г)

   $$\int\limits_{0}^{2}\frac{3\,dx}{3-x}=-3\ln|3-x|\Big|_{0}^{2}=-3\ln 1+3\ln 3=3\ln 3.$$

5. д)

   $$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{5-4x}=-\frac14\ln|5-4x|\Big|_{0}^{1}=-\frac14\ln 1+\frac14\ln 5=\frac14\ln 5.$$

6. е)

   $$\int\limits_{\frac23}^{1}\frac{dx}{3x-1}=\frac13\ln|3x-1|\Big|_{\frac23}^{1}=\frac13\ln 2-\frac13\ln 1=\frac13\ln 2.$$

7. а) Площадь фигуры, ограниченной кривой $$y=-x^3+6x^2-9x$$ и касательной в точке $$\left(3;0\right)$$.

   Найдём касательную. Имеем:
   $$y(3)=-27+54-27=0,$$
   $$y'(x)=-3x^2+12x-9,$$
   $$y'(3)=-27+36-9=0.$$
   Значит, касательная имеет уравнение $$y=0$$.

   Точки пересечения с осью $$Ox$$:
   $$-x^3+6x^2-9x=0,$$
   $$x(x^2-6x+9)=0,$$
   $$x(x-3)^2=0,$$
   откуда $$x=0$$ и $$x=3$$.

   Тогда площадь:
   $$S=\int\limits_{0}^{3}(x^3-6x^2+9x)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{9x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{3}.$$
   $$S=\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2}=\frac{27}{4}=6{,}75.$$

8. б) Площадь фигуры, ограниченной кривой $$y=x^3-x^2-x+1$$ и касательной в точке $$\left(1;0\right)$$.

   Проверим касательную:
   $$y(1)=1-1-1+1=0,$$
   $$y'(x)=3x^2-2x-1,$$
   $$y'(1)=3-2-1=0.$$
   Значит, касательная: $$y=0$$.

   Точки пересечения с осью $$Ox$$:
   $$x^3-x^2-x+1=0,$$
   $$x^2(x-1)-(x-1)=0,$$
   $$(x^2-1)(x-1)=0,$$
   $$(x-1)^2(x+1)=0.$$
   Отсюда $$x=-1$$ и $$x=1$$.

   Тогда площадь:
   $$S=\int\limits_{-1}^{1}(x^3-x^2-x+1)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\right)\Bigg|_{-1}^{1}.$$
   $$S=\left(\frac14-\frac13-\frac12+1\right)-\left(\frac14+\frac13-\frac12-1\right)=\frac{4}{3}.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$2$$; в) $$\ln 2$$; г) $$3\ln 3$$; д) $$\frac14\ln 5$$; е) $$\frac13\ln 2$$; а) $$6{,}75$$; б) $$\frac43$$.