Упр.23.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) (0,1)?e^xdx; в) (1,2)?2e^(2x-3)dx; д) (0,2)?2^(2-x)dx;
б) (-1,0)?2e^xdx; г) (0,5, 1)?4e^(5-4x)dx; е) (-1,1)?3^(x+1)dx. а) Криволинейная фигура ограничена кубической параболой y=x^3 и касательными к ней, проведёнными в точках (0; 0) и (1; 1). Найдите площадь данной фигуры.
б) Криволинейная фигура ограничена кубической параболой y=x^3 и касательной к ней, проведённой в точке (1; 1). Найдите площадь данной фигуры.
Вычислим данные интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.
а)
$$\int_0^1 e^x\,dx=\left.e^x\right|_0^1=e^1-e^0=e-1;$$
б)
$$\int_{-1}^0 2e^x\,dx=\left.2e^x\right|_{-1}^0=2\left(e^0-e^{-1}\right)=2\left(1-\frac1e\right);$$
в)
$$\int_1^2 2e^{2x-3}\,dx=\left.e^{2x-3}\right|_1^2=e^1-e^{-1}=e-\frac1e;$$
г)
$$\int_{0,5}^1 4e^{5-4x}\,dx=\left.-e^{5-4x}\right|_{0,5}^1=-e^1+e^3=e^3-e;$$
д)
$$\int_0^2 2^{2-x}\,dx=\left.-\frac{2^{2-x}}{\ln 2}\right|_0^2=-\frac{2^0}{\ln 2}+\frac{2^2}{\ln 2}=\frac{3}{\ln 2};$$
е)
$$\int_{-1}^1 3^{x+1}\,dx=\left.\frac{3^{x+1}}{\ln 3}\right|_{-1}^1=\frac{3^2-3^0}{\ln 3}=\frac{8}{\ln 3}.$$
Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком $$y=x^3$$ и касательными.
а) Касательная к графику в точке $$\left(0,0\right)$$:
$$y’=3x^2,\quad y'(0)=0,$$
$$y=0.$$
Касательная в точке $$\left(1,1\right)$$:
$$y'(1)=3,$$
$$y-1=3(x-1),$$
$$y=3x-2.$$
Точка пересечения касательных:
$$3x-2=0,\quad x=\frac23.$$
Тогда площадь равна
$$ S=\int_0^{2/3} x^3\,dx+\int_{2/3}^1 (x^3-3x+2)\,dx. $$
$$ S=\left.\frac{x^4}{4}\right|_0^{2/3}+\left.\left(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\right|_{2/3}^1 =\frac{1}{12}. $$
б) Касательная к графику в точке $$\left(1,1\right)$$:
$$y’=3x^2,\quad y'(1)=3,$$
$$y-1=3(x-1),$$
$$y=3x-2.$$
Точки пересечения с параболой:
$$x^3=3x-2,$$
$$x^3-3x+2=0,$$
$$\left(x-1\right)^2(x+2)=0,$$
$$x=1,\; x=-2.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-2}^1 (x^3-3x+2)\,dx =\left.\left(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\right|_{-2}^1 =\frac{27}{4}. $$
Ответ
а) $$e-1$$; б) $$2\left(1-\frac1e\right)$$; в) $$e-\frac1e$$; г) $$e^3-e$$; д) $$\frac{3}{\ln 2}$$; е) $$\frac{8}{\ln 3}$$; а) $$\frac{1}{12}$$; б) $$\frac{27}{4}$$.
