Упр.23.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (0,?/2)?sin(x)dx; в) (?/4,3?/4)?cos(2x)dx; д) (-?/4,?/4)?1/cos^2(x)dx;
б) (-?,-?/2)?cos(x)dx; г) (0,?)?sin(x/2)dx; е) (?/4,3?/4)?1/sin^2(x)dx. На рисунке 129 изображён параболический сегмент, ограниченный графиком квадратичной функции y=ax^2+bx+c и прямой y=kx+m. Задайте аналитически квадратичную функцию и прямую и найдите площадь сегмента.

1. а)

   $$\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_{0}^{\pi/2}=-\cos\frac{\pi}{2}+\cos 0=0+1=1.$$

2. б)

   $$\int\limits_{-\pi}^{-\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{-\pi}^{-\pi/2}=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\sin(-\pi)=-1-0=-1.$$

3. в)

   $$\int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4}\cos 2x\,dx=\frac12\sin 2x\Big|_{\pi/4}^{3\pi/4}=\frac12\left(\sin\frac{3\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\right)=\frac12(-1-1)=-1.$$

4. г)

   $$\int\limits_{0}^{\pi}\sin\frac{x}{2}\,dx=-2\cos\frac{x}{2}\Big|_{0}^{\pi}=-2\cos\frac{\pi}{2}+2\cos 0=0+2=2.$$

5. д)

   $$\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x\Big|_{-\pi/4}^{\pi/4}=\tg\frac{\pi}{4}-\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=1-(-1)=2.$$

6. е)

   $$\int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4}\frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\ctg x\Big|_{\pi/4}^{3\pi/4}=-\ctg\frac{3\pi}{4}+\ctg\frac{\pi}{4}=1+1=2.$$

Для фигуры на рисунке 129:

Прямая проходит через точки $$(-2,0)$$ и $$\left(0,-2\right)$$, значит её уравнение:
$$y=-x-2.$$

Парабола проходит через точки $$(-2,0)$$, $$\left(0,0\right)$$ и $$(-1,1)$$, поэтому:
$$y=-x^2-2x.$$

Площадь сегмента:
$$S=\int\limits_{-2}^{1}\bigl((-x^2-2x)-(-x-2)\bigr)\,dx=\int\limits_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}=\left(-\frac13-\frac12+2\right)-\left(\frac83-2-4\right)=\frac92.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$-1$$; г) $$2$$; д) $$2$$; е) $$2$$; площадь фигуры $$\frac92$$.