Упр.23.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (0,3)?1/v(x+1)dx; в) (-1,0)?1/(3x+4)^(1/4)dx; д) (-2,2)?2/v(5-2x)dx;
б) (-7,-2)?1/v(2-x)dx; г) (0,3)?1/(2(5x+1)^(1/4))dx; е) (-6,0)?6/v(1-4x)dx. В координатной плоскости задан квадрат ABCD, где А(0; 0), В(0; 1), С(1; 1), D(1; 0), и график функции y=f(x), где 0?x?1. Найдите, в каком отношении график данной функции делит площадь квадрата, если:
а) f(x)=x; в) f(x)=x^2; д) f(x)=x^(1/3);
б) f(x)=0,5x; г) f(x)=x^3; е) f(x)=vx.

1. а)

   $$\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx=\int_0^3 (x+1)^{-\frac12}\,dx=2\sqrt{x+1}\Big|_0^3$$
   $$=2\sqrt4-2\sqrt1=4-2=2.$$

2. б)

   $$\int_{-7}^{-2}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx=\int_{-7}^{-2}(2-x)^{-\frac12}\,dx=-2\sqrt{2-x}\Big|_{-7}^{-2}$$
   $$=-2\sqrt4+2\sqrt9=-4+6=2.$$

3. в)

   $$\int_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt[4]{3x+4}}\,dx=\int_{-1}^{0}(3x+4)^{-\frac14}\,dx$$
   $$=\frac{4}{9}(3x+4)^{\frac34}\Big|_{-1}^{0}=\frac{4}{9}\left(4^{\frac34}-1\right)$$
   $$=\frac{4}{9}\left(2\sqrt2-1\right).$$

4. г)

   $$\int_0^3 \frac{1}{2\sqrt[4]{5x+1}}\,dx=\frac12\int_0^3(5x+1)^{-\frac14}\,dx$$
   $$=\frac{2}{15}(5x+1)^{\frac34}\Big|_0^3=\frac{2}{15}\left(16^{\frac34}-1\right)$$
   $$=\frac{2}{15}(8-1)=\frac{14}{15}.$$

5. д)

   $$\int_{-2}^{2}\frac{2}{\sqrt{5-2x}}\,dx=\int_{-2}^{2}2(5-2x)^{-\frac12}\,dx=-2\sqrt{5-2x}\Big|_{-2}^{2}$$
   $$=-2\sqrt1+2\sqrt9=-2+6=4.$$

6. е)

   $$\int_{-6}^{0}\frac{6}{\sqrt{1-4x}}\,dx=\int_{-6}^{0}6(1-4x)^{-\frac12}\,dx=-3\sqrt{1-4x}\Big|_{-6}^{0}$$
   $$=-3\sqrt1+3\sqrt{25}=-3+15=12.$$

Теперь найдём, в каком отношении график функции делит площадь квадрата. Площадь квадрата равна $$1$$, поэтому отношение площадей равно отношению площади под графиком к оставшейся части.

1. а) $$f(x)=x$$

   $$S=\int_0^1 x\,dx=\frac12,$$
   значит, вторая часть тоже равна $$\frac12$$. Тогда
   $$\frac12:\frac12=1:1.$$

2. б) $$f(x)=0{,}5x$$

   $$S=\int_0^1 0{,}5x\,dx=\frac14,$$
   поэтому
   $$\frac14:\left(1-\frac14\right)=\frac14:\frac34=1:3.$$

3. в) $$f(x)=x^2$$

   $$S=\int_0^1 x^2\,dx=\frac13,$$
   значит,
   $$\frac13:\left(1-\frac13\right)=\frac13:\frac23=1:2.$$

4. г) $$f(x)=x^3$$

   $$S=\int_0^1 x^3\,dx=\frac14,$$
   поэтому
   $$\frac14:\left(1-\frac14\right)=\frac14:\frac34=1:3.$$

5. д) $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$

   $$S=\int_0^1 x^{1/3}\,dx=\frac34,$$
   значит,
   $$\frac34:\left(1-\frac34\right)=\frac34:\frac14=3:1.$$

6. е) $$f(x)=\sqrt{x}$$

   $$S=\int_0^1 \sqrt{x}\,dx=\frac23,$$
   поэтому
   $$\frac23:\left(1-\frac23\right)=\frac23:\frac13=2:1.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$2$$; в) $$\frac{4}{9}(2\sqrt2-1)$$; г) $$\frac{14}{15}$$; д) $$4$$; е) $$12$$.
а) $$1:1$$; б) $$1:3$$; в) $$1:2$$; г) $$1:3$$; д) $$3:1$$; е) $$2:1$$.