Упр.23.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) (3,4)?1/(x-2)^2dx; в) (-2,-1)?3/(1-2x)^2dx; д) (0,1)?8/(2x+3)^3dx;
б) (-1,2)?1/(3-x)^2dx; г) (0,3)?4/(3+4x)^2dx; е) (0,1)?12/(4x+5)^4dx. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=f(x) и y=g(x):
а) f(x)=|x^2-4|, g(x)=x+2;
б) f(x)=v(x+1), g(x)=|x|-1;
в) f(x)=|x^2-2x|, g(x)=x;
г) f(x)=-v(x+4), g(x)=-|x+1|+3.

Подробный ответ

Вычислим интегралы:
$$\int\limits_{3}^{4}\frac{1}{(x-2)^2}\,dx=-\frac{1}{x-2}\Bigg|_{3}^{4}=-\frac12+\frac11=\frac12.$$
$$\int\limits_{-1}^{2}\frac{1}{(3-x)^2}\,dx=\frac{1}{3-x}\Bigg|_{-1}^{2}=1-\frac14=\frac34.$$
$$\int\limits_{-2}^{-1}\frac{3}{(1-2x)^2}\,dx=\frac{3}{2(1-2x)}\Bigg|_{-2}^{-1}=\frac12-\frac{3}{10}=\frac15.$$
$$\int\limits_{0}^{3}\frac{4}{(3+4x)^2}\,dx=-\frac{1}{3+4x}\Bigg|_{0}^{3}=\frac{1}{15}.$$
$$\int\limits_{0}^{1}\frac{8}{(2x+3)^3}\,dx=-\frac{2}{(2x+3)^2}\Bigg|_{0}^{1}=\frac{32}{225}.$$
$$\int\limits_{0}^{1}\frac{12}{(4x+5)^4}\,dx=-\frac{1}{(4x+5)^3}\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{5^3}-\frac{1}{9^3}=\frac{9^3-5^3}{45^3}.$$
Найдём площади фигур.
а) $$f(x)=|x^2-4|,\quad g(x)=x+2.$$
Точки пересечения: $$|x^2-4|=x+2.$$
Получаем $$x=-2,\;1,\;3.$$ Тогда
$$S=\int\limits_{-2}^{1}\bigl((x+2)-(4-x^2)\bigr)\,dx+\int\limits_{1}^{2}\bigl((x+2)-(x^2-4)\bigr)\,dx+\int\limits_{2}^{3}\bigl((x^2-4)-(x+2)\bigr)\,dx.$$
После вычисления:
$$S=\frac{17}{6}.$$
б) $$f(x)=\sqrt{x+1},\quad g(x)=|x|-1.$$
Точки пересечения: $$x=-1,\;0,\;3.$$
$$S=\int\limits_{-1}^{0}\bigl(\sqrt{x+1}+x+1\bigr)\,dx+\int\limits_{0}^{3}\bigl(\sqrt{x+1}-x+1\bigr)\,dx.$$
После вычисления:
$$S=\frac{13}{3}.$$
в) $$f(x)=|x^2-2x|,\quad g(x)=x.$$
Точки пересечения: $$x=0,\;1,\;3.$$
$$S=\int\limits_{0}^{1}(x-x^2)\,dx+\int\limits_{1}^{2}(3x-x^2)\,dx+\int\limits_{2}^{3}(x^2-3x)\,dx.$$
После вычисления:
$$S=\frac{13}{6}.$$
г) $$f(x)=-\sqrt{x+4},\quad g(x)=-|x+1|+3.$$
Точки пересечения: $$x=-4,\;-1,\;5.$$
$$S=\int\limits_{-4}^{-1}\bigl((x+4)+\sqrt{x+4}\bigr)\,dx+\int\limits_{-1}^{5}\bigl(2-x+\sqrt{x+4}\bigr)\,dx.$$
После вычисления:
$$S=\frac{45}{2}.$$