Упр.23.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Пусть палеткой является координатная плоскость с сеткой из квадратов размера $$1 \times 1$$ с вершинами, координаты которых — целые числа.
а) Постройте криволинейную трапецию $$T$$, ограниченную параболой $$y=x^2$$, $$0 \leq x \leq 3$$, и осью $$Ox$$.
б) Найдите число $$N_{\text{нижн.}}$$ квадратов, целиком содержащихся в $$T$$.
в) Найдите число $$N_{\text{верхн.}}$$ квадратов, имеющих с $$T$$ общие внутренние точки.
г) Вычислите приближённое значение $$S_{\text{прибл.}}=\frac{N_{\text{нижн.}}+N_{\text{верхн.}}}{2}\cdot S_{\text{квадр.}}$$ площади трапеции $$T$$.
д) Вычислите точное значение $$S=\int_0^3 x^2\,dx$$ этой площади.
е) Найдите абсолютную погрешность $$\lvert S-S_{\text{прибл.}}\rvert$$ приближения.
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $$y=0$$, $$x=a$$, $$x=b$$ и графиком функции $$y=f(x)$$:
а) $$y=x-2$$, $$a=3$$, $$b=5$$;
г) $$y=2x-1$$, $$a=2$$, $$b=3$$;
б) $$y=(x-1)^2$$, $$a=1$$, $$b=3$$;
д) $$y=x^2-1$$, $$a=2$$, $$b=4$$;
в) $$y=x^3$$, $$a=1$$, $$b=2$$;
е) $$y=x^3+1$$, $$a=0$$, $$b=2$$.
а) Площадь криволинейной трапеции равна
$$S=\int\limits_0^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3=\frac{27}{3}=9.$$
б) По рисунку число квадратов, целиком содержащихся в трапеции:
$$N_{\text{нижн}}=5.$$
в) Число квадратов, имеющих с трапецией общие внутренние точки:
$$N_{\text{верхн}}=9.$$
г) Приближённая площадь:
$$S_{\text{прибл}}=\left(N_{\text{нижн}}+\frac12N_{\text{верхн}}\right)S_{\text{квадр}}=5+\frac{9}{2}=9{,}5.$$
д) Точное значение площади:
$$S=\int\limits_0^3 x^2\,dx=9.$$
е) Абсолютная погрешность:
$$|S-S_{\text{прибл}}|=|9-9{,}5|=0{,}5.$$
Для остальных фигур:
а) $$S=\int\limits_3^5 (x-2)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\right|_3^5=4.$$
б) $$S=\int\limits_1^3 (x-1)^2\,dx=\left.\frac{(x-1)^3}{3}\right|_1^3=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}.$$
в) $$S=\int\limits_1^2 x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_1^2=\frac{15}{4}=3{,}75.$$
г) $$S=\int\limits_2^3 (2x-1)\,dx=\left.(x^2-x)\right|_2^3=4.$$
д) $$S=\int\limits_2^4 (x^2-1)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\right|_2^4=\frac{50}{3}=16\frac{2}{3}.$$
е) $$S=\int\limits_0^2 (x^3+1)\,dx=\left.\left(\frac{x^4}{4}+x\right)\right|_0^2=6.$$
Ответ
а) $$9$$; б) $$5$$; в) $$9$$; г) $$9{,}5$$; д) $$9$$; е) $$0{,}5$$. Для дополнительных пунктов: а) $$4$$; б) $$2\frac{2}{3}$$; в) $$3{,}75$$; г) $$4$$; д) $$16\frac{2}{3}$$; е) $$6$$.
