Упр.22.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=(x-3)^3; г) y=(7-2x)^3;
б) y=(x+5)^4; д) y=(8-0,2x)^4;
в) y=(3x-2)^2; е) y=(0,25x+6)^7. Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) (0,1)?(2x-3)^2dx; в) (1,2)?(3x+4)^3dx; д) (1,3)?(1-4x)^4dx;
б) (-1,2)?(2x+1)^2dx; г) (0,2)?(2x-5)^4dx; е) (0,3)?(3-5x)^3dx.

Найдём первообразные по формуле:

$$\int (ax+b)^n\,dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C.$$

1. $$\int (x-3)^3\,dx=\frac{(x-3)^4}{4}+C.$$

2. $$\int (x+5)^4\,dx=\frac{(x+5)^5}{5}+C.$$

3. $$\int (3x-2)^2\,dx=\frac{(3x-2)^3}{3\cdot 3}+C=\frac{(3x-2)^3}{9}+C.$$

4. $$\int (7-2x)^3\,dx=-\frac{(7-2x)^4}{2\cdot 4}+C=-\frac{(7-2x)^4}{8}+C.$$

5. $$\int (8-0{,}2x)^4\,dx=-\frac{(8-0{,}2x)^5}{0{,}2\cdot 5}+C=(0{,}2x-8)^5+C.$$

6. $$\int (0{,}25x+6)^7\,dx=\frac{(0{,}25x+6)^8}{0{,}25\cdot 8}+C=\frac{(0{,}25x+6)^8}{2}+C.$$

Теперь вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.

1. $$\int_0^1 (2x-3)^2\,dx=\left.\frac{(2x-3)^3}{2\cdot 3}\right|_0^1=\frac{(-1)^3-(-3)^3}{6}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}.$$

2. $$\int_{-1}^2 (2x+1)^2\,dx=\left.\frac{(2x+1)^3}{6}\right|_{-1}^2=\frac{5^3-(-1)^3}{6}=\frac{126}{6}=21.$$

3. $$\int_1^2 (3x+4)^3\,dx=\left.\frac{(3x+4)^4}{12}\right|_1^2=\frac{10^4-7^4}{12}.$$

4. $$\int_0^2 (2x-5)^4\,dx=\left.\frac{(2x-5)^5}{10}\right|_0^2=\frac{(-1)^5-(-5)^5}{10}=\frac{3124}{10}=\frac{1562}{5}.$$

5. $$\int_1^3 (1-4x)^4\,dx=\left.-\frac{(1-4x)^5}{20}\right|_1^3=\frac{(-11)^5-(-3)^5}{-20}=\frac{11^5-3^5}{20}.$$

6. $$\int_0^3 (3-5x)^3\,dx=\left.-\frac{(3-5x)^4}{20}\right|_0^3=\frac{3^4-(-12)^4}{20}=-\frac{20727}{20}.$$

Ответ

$$F(x)=\frac{(x-3)^4}{4}+C,\quad \frac{(x+5)^5}{5}+C,\quad \frac{(3x-2)^3}{9}+C,\quad -\frac{(7-2x)^4}{8}+C,\quad (0{,}2x-8)^5+C,\quad \frac{(0{,}25x+6)^8}{2}+C.$$

$$\int_0^1 (2x-3)^2\,dx=\frac{13}{3},\quad \int_{-1}^2 (2x+1)^2\,dx=21,\quad \int_1^2 (3x+4)^3\,dx=\frac{10^4-7^4}{12},$$
$$\int_0^2 (2x-5)^4\,dx=\frac{1562}{5},\quad \int_1^3 (1-4x)^4\,dx=\frac{11^5-3^5}{20},\quad \int_0^3 (3-5x)^3\,dx=-\frac{20727}{20}.$$