Упр.22.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции $$y=f(x)$$:
а) $$f(x)=e^x-x^{-1},\quad x>0$$;
б) $$f(x)=e^{-x}-x^{-1},\quad x>0$$;
в) $$f(x)=2^x-\frac{1}{2x},\quad x>0$$;
г) $$f(x)=10^x+\frac{3}{x},\quad x>0$$;
д) $$f(x)=e^{2-3x}-2x^{-1},\quad x>0$$;
е) $$f(x)=e^{5x-4}+\frac{1}{5x},\quad x>0$$. - Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) $$\int\limits_{-2}^{3}(x^3+x^2)\,dx$$;
б) $$\int\limits_{-1}^{1}(5x^4+x^3)\,dx$$;
в) $$\int\limits_{1}^{3}(-4x^3+3x^2-2x+1)\,dx$$;
г) $$\int\limits_{-2}^{2}(x^3-6x)\,dx$$;
д) $$\int\limits_{0}^{2}(-x^4+2x^2)\,dx$$;
е) $$\int\limits_{0}^{5}(x^3-9x^2+4x-3)\,dx$$.
- Найдём первообразные:
а) $$f(x)=e^x-x^{-1},\ x>0$$
$$F(x)=e^x-\ln x+C.$$б) $$f(x)=e^{-x}-x^{-1},\ x>0$$
$$F(x)=-e^{-x}-\ln x+C.$$в) $$f(x)=2^x-\frac{1}{2x},\ x>0$$
$$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}-\frac12\ln x+C.$$г) $$f(x)=10^x+\frac{3}{x},\ x>0$$
$$F(x)=\frac{10^x}{\ln 10}+3\ln x+C.$$д) $$f(x)=e^{2-3x}-2x^{-1},\ x>0$$
$$F(x)=-\frac13 e^{2-3x}-2\ln x+C.$$е) $$f(x)=e^{5x-4}+\frac{1}{5x},\ x>0$$
$$F(x)=\frac15 e^{5x-4}+\frac15\ln x+C.$$ - Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница:
а) $$\int_{-2}^{3}(x^3+x^2)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{3}$$
$$=\left(\frac{81}{4}+\frac{27}{3}\right)-\left(\frac{16}{4}-\frac{8}{3}\right)=\frac{65}{4}+\frac{35}{3}=27\frac{11}{12}.$$б) $$\int_{-1}^{1}(5x^4+x^3)\,dx=\left(x^5+\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-1}^{1}$$
$$=\left(1+\frac14\right)-\left(-1+\frac14\right)=2.$$в) $$\int_{1}^{3}(-4x^3+3x^2-2x+1)\,dx=\left(-x^4+x^3-x^2+x\right)\Bigg|_{1}^{3}$$
$$=(-81+27-9+3)-(-1+1-1+1)=-60.$$г) $$\int_{-2}^{2}(x^3-6x)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}-3x^2\right)\Bigg|_{-2}^{2}$$
$$=\left(\frac{16}{4}-12\right)-\left(\frac{16}{4}-12\right)=0.$$д) $$\int_{0}^{2}(-x^4+2x^2)\,dx=\left(-\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2}$$
$$=-\frac{32}{5}+\frac{16}{3}=-\frac{16}{15}=-1\frac{1}{15}.$$е) $$\int_{0}^{4}(5x^3-9x^2+4x-3)\,dx=\left(\frac{5x^4}{4}-3x^3+2x^2-3x\right)\Bigg|_{0}^{4}$$
$$=\frac{5\cdot 256}{4}-3\cdot 64+2\cdot 16-3\cdot 4=320-192+32-12=148.$$
Ответ
а) $$F(x)=e^x-\ln x+C$$
б) $$F(x)=-e^{-x}-\ln x+C$$
в) $$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}-\frac12\ln x+C$$
г) $$F(x)=\frac{10^x}{\ln 10}+3\ln x+C$$
д) $$F(x)=-\frac13 e^{2-3x}-2\ln x+C$$
е) $$F(x)=\frac15 e^{5x-4}+\frac15\ln x+C$$
а) $$27\frac{11}{12}$$
б) $$2$$
в) $$-60$$
г) $$0$$
д) $$-1\frac{1}{15}$$
е) $$148$$
