Упр.22.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) f(x)=sin(x)-3cos(x); г) f(x)=-2sin(x)+cos(x);
б) f(x)=sin(2x)+2/sin^2(x); д) f(x)=cos(x/3)-4/cos^2(x);
в) f(x)=cos(3x-?/6); е) f(x)=sin(?/3-x/2).
Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) (1,4)?(x^2+x)dx; г) (0,3)?(-x^2-2x)dx;
б) (0,3)?(-x^2+3x-4)dx; д) (-1,2)?(x^2-4x+3)dx;
в) (-2,3)?(3x^2-2x+1)dx; е) (1,3)?(6x^2+4x-3)dx.
Найдём первообразные:
а) $$f(x)=\sin x-3\cos x$$
$$F(x)=-\cos x-3\sin x+C$$б) $$f(x)=\sin 2x+\frac{2}{\sin^2 x}$$
$$F(x)=-\frac12\cos 2x-2\ctg x+C$$в) $$f(x)=\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$$
$$F(x)=\frac13\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)+C$$г) $$f(x)=-2\sin x+\cos x$$
$$F(x)=2\cos x+\sin x+C$$д) $$f(x)=\cos\frac{x}{3}-\frac{4}{\cos^2 x}$$
$$F(x)=3\sin\frac{x}{3}-4\tg x+C$$е) $$f(x)=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)$$
$$F(x)=2\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)+C$$Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница:
а) $$\int_{1}^{4}(x^2+x)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{1}^{4}$$
$$=\left(\frac{64}{3}+8\right)-\left(\frac13+\frac12\right)=\frac{57}{2}=28{,}5$$б) $$\int_{0}^{3}(-x^2+3x-4)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-4x\right)\Bigg|_{0}^{3}$$
$$=-9+\frac{27}{2}-12=-\frac{15}{2}=-7{,}5$$в) $$\int_{-2}^{3}(3x^2-2x+1)\,dx=\left(x^3-x^2+x\right)\Bigg|_{-2}^{3}$$
$$=(27-9+3)-(-8-4-2)=35$$г) $$\int_{0}^{3}(-x^2-2x)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}-x^2\right)\Bigg|_{0}^{3}$$
$$=-9-9=-18$$д) $$\int_{-1}^{2}(x^2-4x+3)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\Bigg|_{-1}^{2}$$
$$=\left(\frac83-8+6\right)-\left(-\frac13-2-3\right)=6$$е) $$\int_{1}^{3}(6x^2+4x-3)\,dx=\left(2x^3+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}$$
$$=(54+18-9)-(2+2-3)=62$$
Ответ
а) $$F(x)=-\cos x-3\sin x+C$$; б) $$F(x)=-\frac12\cos 2x-2\ctg x+C$$; в) $$F(x)=\frac13\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)+C$$; г) $$F(x)=2\cos x+\sin x+C$$; д) $$F(x)=3\sin\frac{x}{3}-4\tg x+C$$; е) $$F(x)=2\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)+C$$.
а) $$28{,}5$$; б) $$-7{,}5$$; в) $$35$$; г) $$-18$$; д) $$6$$; е) $$62$$.
