Упр.22.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=(x+4)^2; г) f(x)=(x-2)^3;
б) f(x)=-1/(3x-2)^2; д) f(x)=12/(4x+7)^3;
в) f(x)=6/v(5-3x); е) f(x)=9/(2v(6x+1)). Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) (-2,5)?(2x+1)dx; в) (-1,3)?(x-1)^3dx; д) (-2,1)?(x^2+1)dx;
б) (-3,3)?(4x-3)dx; г) (0,4)?(x+2)^2dx; е) (2,4)?(x^2-2)dx.

Найдём первообразные по правилу:

если $$f(x)=(u(x))^n,$$ то при $$n\neq -1$$ первообразная находится по формуле замены переменной.

1. а) $$f(x)=(x+4)^2$$

   $$F(x)=\frac{(x+4)^3}{3}+C.$$

2. б) $$f(x)=-\frac{1}{(3x-2)^2}$$

   $$F(x)=\frac{1}{3(3x-2)}+C.$$

3. в) $$f(x)=\frac{6}{\sqrt{5-3x}}$$

   $$F(x)=-4\sqrt{5-3x}+C.$$

4. г) $$f(x)=(x-2)^3$$

   $$F(x)=\frac{(x-2)^4}{4}+C.$$

5. д) $$f(x)=\frac{12}{(4x+7)^3}$$

   $$F(x)=-\frac{3}{2(4x+7)^2}+C.$$

6. е) $$f(x)=\frac{9}{2\sqrt{6x+1}}$$

   $$F(x)=\frac{3}{2}\sqrt{6x+1}+C.$$

Теперь вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.

1. а) $$\int_{-2}^{5}(2x+1)\,dx=\left(x^2+x\right)\Big|_{-2}^{5}=(25+5)-(4-2)=28.$$

2. б) $$\int_{-3}^{3}(4x-3)\,dx=\left(2x^2-3x\right)\Big|_{-3}^{3}=(18-9)-(18+9)=-18.$$

3. в) $$\int_{-1}^{3}(x-1)^3\,dx=\left(\frac{(x-1)^4}{4}\right)\Big|_{-1}^{3}=\frac{2^4}{4}-\frac{(-2)^4}{4}=0.$$

4. г) $$\int_{0}^{4}(x+2)^2\,dx=\left(\frac{(x+2)^3}{3}\right)\Big|_{0}^{4}=\frac{6^3}{3}-\frac{2^3}{3}=\frac{208}{3}=69\frac{1}{3}.$$

5. д) $$\int_{-2}^{1}(x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_{-2}^{1}=\left(\frac{1}{3}+1\right)-\left(-\frac{8}{3}-2\right)=6.$$

6. е) $$\int_{2}^{4}(x^2-2)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x\right)\Big|_{2}^{4}=\left(\frac{64}{3}-8\right)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{44}{3}=14\frac{2}{3}.$$

Ответ

а) $$F(x)=\frac{(x+4)^3}{3}+C$$; б) $$F(x)=\frac{1}{3(3x-2)}+C$$; в) $$F(x)=-4\sqrt{5-3x}+C$$; г) $$F(x)=\frac{(x-2)^4}{4}+C$$; д) $$F(x)=-\frac{3}{2(4x+7)^2}+C$$; е) $$F(x)=\frac{3}{2}\sqrt{6x+1}+C$$.

а) $$28$$; б) $$-18$$; в) $$0$$; г) $$\frac{208}{3}$$; д) $$6$$; е) $$\frac{44}{3}$$.