Упр.22.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции $$y=f(x)$$:
а) $$f(x)=(x+4)^2$$;
г) $$f(x)=(x-2)^3$$;
б) $$f(x)=-\frac{1}{(3x-2)^2}$$;
д) $$f(x)=\frac{12}{(4x+7)^3}$$;
в) $$f(x)=\frac{6}{\sqrt{5-3x}}$$;
е) $$f(x)=\frac{9}{2\sqrt{6x+1}}$$.
Задание учебника 2022 года. Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) $$\int_{-2}^{5}(2x+1)\,dx$$;
в) $$\int_{-1}^{3}(x-1)^3\,dx$$;
д) $$\int_{-2}^{1}(x^2+1)\,dx$$;
б) $$\int_{-3}^{3}(4x-3)\,dx$$;
г) $$\int_{0}^{4}(x+2)^2\,dx$$;
е) $$\int_{2}^{4}(x^2-2)\,dx$$.
Найдём первообразные по правилу:
если $$f(x)=(u(x))^n,$$ то при $$n\neq -1$$ первообразная находится по формуле замены переменной.
а) $$f(x)=(x+4)^2$$
$$F(x)=\frac{(x+4)^3}{3}+C.$$
б) $$f(x)=-\frac{1}{(3x-2)^2}$$
$$F(x)=\frac{1}{3(3x-2)}+C.$$
в) $$f(x)=\frac{6}{\sqrt{5-3x}}$$
$$F(x)=-4\sqrt{5-3x}+C.$$
г) $$f(x)=(x-2)^3$$
$$F(x)=\frac{(x-2)^4}{4}+C.$$
д) $$f(x)=\frac{12}{(4x+7)^3}$$
$$F(x)=-\frac{3}{2(4x+7)^2}+C.$$
е) $$f(x)=\frac{9}{2\sqrt{6x+1}}$$
$$F(x)=\frac{3}{2}\sqrt{6x+1}+C.$$
Теперь вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.
а) $$\int_{-2}^{5}(2x+1)\,dx=\left(x^2+x\right)\Big|_{-2}^{5}=(25+5)-(4-2)=28.$$
б) $$\int_{-3}^{3}(4x-3)\,dx=\left(2x^2-3x\right)\Big|_{-3}^{3}=(18-9)-(18+9)=-18.$$
в) $$\int_{-1}^{3}(x-1)^3\,dx=\left(\frac{(x-1)^4}{4}\right)\Big|_{-1}^{3}=\frac{2^4}{4}-\frac{(-2)^4}{4}=0.$$
г) $$\int_{0}^{4}(x+2)^2\,dx=\left(\frac{(x+2)^3}{3}\right)\Big|_{0}^{4}=\frac{6^3}{3}-\frac{2^3}{3}=\frac{208}{3}=69\frac{1}{3}.$$
д) $$\int_{-2}^{1}(x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_{-2}^{1}=\left(\frac{1}{3}+1\right)-\left(-\frac{8}{3}-2\right)=6.$$
е) $$\int_{2}^{4}(x^2-2)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x\right)\Big|_{2}^{4}=\left(\frac{64}{3}-8\right)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{44}{3}=14\frac{2}{3}.$$
Ответ
а) $$F(x)=\frac{(x+4)^3}{3}+C$$; б) $$F(x)=\frac{1}{3(3x-2)}+C$$; в) $$F(x)=-4\sqrt{5-3x}+C$$; г) $$F(x)=\frac{(x-2)^4}{4}+C$$; д) $$F(x)=-\frac{3}{2(4x+7)^2}+C$$; е) $$F(x)=\frac{3}{2}\sqrt{6x+1}+C$$.
а) $$28$$; б) $$-18$$; в) $$0$$; г) $$\frac{208}{3}$$; д) $$6$$; е) $$\frac{44}{3}$$.
