Упр.22.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции $$y=f(x)$$:
а) $$f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}$$;
г) $$f(x)=\frac{3}{x^3}+\frac{1}{x}$$;
б) $$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-x$$;
д) $$f(x)=\sqrt{x}+x^{-2}$$;
в) $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{3}$$;
е) $$f(x)=x^{\frac{2}{3}}-2x^{-1}$$. - Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) $$\int_1^2 x^{-4}\,dx$$;
в) $$\int_1^4 \frac{1}{x^2}\,dx$$;
д) $$\int_1^4 x^{-1,5}\,dx$$;
б) $$\int_3^4 x^{-3}\,dx$$;
г) $$\int_3^5 -\frac{1}{x^2}\,dx$$;
е) $$\int_1^8 x^{-\frac{2}{3}}\,dx$$.
Найдём первообразные для каждой функции, используя правило
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\ne -1), \qquad \int \frac{dx}{x}=\ln x + C.$$
а) $$f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}=-x^{-2}+2x^{-1}.$$
$$F(x)=\int\left(-x^{-2}+2x^{-1}\right)dx=x^{-1}+2\ln x+C=\frac{1}{x}+2\ln x+C.$$
б) $$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-x=\frac12 x^{-1/2}-x.$$
$$F(x)=\int\left(\frac12 x^{-1/2}-x\right)dx=\sqrt{x}-\frac{x^2}{2}+C.$$
в) $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac13=2x^{-1/2}+\frac13.$$
$$F(x)=\int\left(2x^{-1/2}+\frac13\right)dx=4\sqrt{x}+\frac{x}{3}+C.$$
г) $$f(x)=\frac{3}{x^3}+\frac{1}{x}=3x^{-3}+x^{-1}.$$
$$F(x)=\int\left(3x^{-3}+x^{-1}\right)dx=-\frac{3}{2x^2}+\ln x+C.$$
д) $$f(x)=\sqrt{x}+x^{-2}=x^{1/2}+x^{-2}.$$
$$F(x)=\int\left(x^{1/2}+x^{-2}\right)dx=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{x}+C.$$
е) $$f(x)=x^{2/3}-2x^{-1}.$$
$$F(x)=\int\left(x^{2/3}-2x^{-1}\right)dx=\frac{3}{5}x^{5/3}-2\ln x+C.$$
Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.
а) $$\int_{1}^{2}x^{-4}\,dx=\left.-\frac{1}{3x^3}\right|_{1}^{2}=-\frac{1}{24}+\frac{1}{3}=\frac{7}{24}.$$
б) $$\int_{3}^{4}x^{-3}\,dx=\left.-\frac{1}{2x^2}\right|_{3}^{4}=-\frac{1}{32}+\frac{1}{18}=\frac{7}{288}.$$
в) $$\int_{1}^{4}\frac{1}{x^2}\,dx=\int_{1}^{4}x^{-2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_{1}^{4}=-\frac14+1=\frac34.$$
г) $$\int_{3}^{5}\left(-\frac{1}{x^2}\right)dx=\left.\frac{1}{x}\right|_{3}^{5}=\frac15-\frac13=-\frac{2}{15}.$$
д) $$\int_{1}^{4}x^{-1.5}\,dx=\int_{1}^{4}x^{-3/2}\,dx=\left.-2x^{-1/2}\right|_{1}^{4}=-1-(-2)=1.$$
е) $$\int_{1}^{8}x^{-2/3}\,dx=\left.3x^{1/3}\right|_{1}^{8}=3\cdot 2-3\cdot 1=3.$$
Ответ
Первообразные:
а) $$F(x)=\frac{1}{x}+2\ln x+C$$
б) $$F(x)=\sqrt{x}-\frac{x^2}{2}+C$$
в) $$F(x)=4\sqrt{x}+\frac{x}{3}+C$$
г) $$F(x)=-\frac{3}{2x^2}+\ln x+C$$
д) $$F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{x}+C$$
е) $$F(x)=\frac{3}{5}x^{5/3}-2\ln x+C$$
Интегралы:
а) $$\frac{7}{24}$$; б) $$\frac{7}{288}$$; в) $$\frac{3}{4}$$; г) $$-\frac{2}{15}$$; д) $$1$$; е) $$3$$.
