Упр.22.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=-1/x^2+2/x; г) f(x)=3/x^3+1/x;
б) f(x)=1/(2vx)-x; д) f(x)=vx+x^(-2);
в) f(x)=2/vx+1/3; е) f(x)=x^(2/3)-2x^(-1). Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) (1,2)?x^(-4)dx; в) (1,4)?(1/x^2)dx; д) (1,4)?x^(-1,5)dx;
б) (3,4)?x^(-3)dx; г) (3,5)?(-1/x^2)dx; е) (1,8)?x^(-2/3)dx.

1. Найдём первообразные для каждой функции, используя правило

   $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\ne -1), \qquad \int \frac{dx}{x}=\ln x + C.$$

   а) $$f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}=-x^{-2}+2x^{-1}.$$

   $$F(x)=\int\left(-x^{-2}+2x^{-1}\right)dx=x^{-1}+2\ln x+C=\frac{1}{x}+2\ln x+C.$$

   б) $$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-x=\frac12 x^{-1/2}-x.$$

   $$F(x)=\int\left(\frac12 x^{-1/2}-x\right)dx=\sqrt{x}-\frac{x^2}{2}+C.$$

   в) $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac13=2x^{-1/2}+\frac13.$$

   $$F(x)=\int\left(2x^{-1/2}+\frac13\right)dx=4\sqrt{x}+\frac{x}{3}+C.$$

   г) $$f(x)=\frac{3}{x^3}+\frac{1}{x}=3x^{-3}+x^{-1}.$$

   $$F(x)=\int\left(3x^{-3}+x^{-1}\right)dx=-\frac{3}{2x^2}+\ln x+C.$$

   д) $$f(x)=\sqrt{x}+x^{-2}=x^{1/2}+x^{-2}.$$

   $$F(x)=\int\left(x^{1/2}+x^{-2}\right)dx=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{x}+C.$$

   е) $$f(x)=x^{2/3}-2x^{-1}.$$

   $$F(x)=\int\left(x^{2/3}-2x^{-1}\right)dx=\frac{3}{5}x^{5/3}-2\ln x+C.$$

2. Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.

   а) $$\int_{1}^{2}x^{-4}\,dx=\left.-\frac{1}{3x^3}\right|_{1}^{2}=-\frac{1}{24}+\frac{1}{3}=\frac{7}{24}.$$

   б) $$\int_{3}^{4}x^{-3}\,dx=\left.-\frac{1}{2x^2}\right|_{3}^{4}=-\frac{1}{32}+\frac{1}{18}=\frac{7}{288}.$$

   в) $$\int_{1}^{4}\frac{1}{x^2}\,dx=\int_{1}^{4}x^{-2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_{1}^{4}=-\frac14+1=\frac34.$$

   г) $$\int_{3}^{5}\left(-\frac{1}{x^2}\right)dx=\left.\frac{1}{x}\right|_{3}^{5}=\frac15-\frac13=-\frac{2}{15}.$$

   д) $$\int_{1}^{4}x^{-1.5}\,dx=\int_{1}^{4}x^{-3/2}\,dx=\left.-2x^{-1/2}\right|_{1}^{4}=-1-(-2)=1.$$

   е) $$\int_{1}^{8}x^{-2/3}\,dx=\left.3x^{1/3}\right|_{1}^{8}=3\cdot 2-3\cdot 1=3.$$

Ответ

Первообразные:
а) $$F(x)=\frac{1}{x}+2\ln x+C$$
б) $$F(x)=\sqrt{x}-\frac{x^2}{2}+C$$
в) $$F(x)=4\sqrt{x}+\frac{x}{3}+C$$
г) $$F(x)=-\frac{3}{2x^2}+\ln x+C$$
д) $$F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{x}+C$$
е) $$F(x)=\frac{3}{5}x^{5/3}-2\ln x+C$$

Интегралы:
а) $$\frac{7}{24}$$; б) $$\frac{7}{288}$$; в) $$\frac{3}{4}$$; г) $$-\frac{2}{15}$$; д) $$1$$; е) $$3$$.