Упр.22.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)=x^(-3)+x^(2/3); г) f(x)=4x^(-5)-3x^(-4);
б) f(x)=x^(-2)-x^(1/4); д) f(x)=(5/3)x^(2/3)-0,5x^(-0,5);
в) f(x)=x^(-1/3)+2x^(-1/2); е) f(x)=2,5x^(-1,5)+(4/3)x^(1/3). Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) (2,4)?xdx; в) (2,3)?x^2dx; д) (4,9)?1/(2vx)dx;
б) (-1,3)dx; г) (-1,2)?x^3dx; е) (1,4)?(1/vx)dx.

1. Найдём первообразные по формуле $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$, если $$n\ne -1$$.

   а) $$f(x)=x^{-3}+x^{2/3}$$

   $$F(x)=\int \left(x^{-3}+x^{2/3}\right)\,dx =\frac{x^{-2}}{-2}+\frac{x^{5/3}}{5/3}+C =-\frac{1}{2}x^{-2}+\frac{3}{5}x^{5/3}+C.$$

   б) $$f(x)=x^{-2}-x^{1/4}$$

   $$F(x)=\int \left(x^{-2}-x^{1/4}\right)\,dx =\frac{x^{-1}}{-1}-\frac{x^{5/4}}{5/4}+C =-\frac{1}{x}-\frac{4}{5}x^{5/4}+C.$$

   в) $$f(x)=x^{-1/3}+2x^{-1/2}$$

   $$F(x)=\int \left(x^{-1/3}+2x^{-1/2}\right)\,dx =\frac{x^{2/3}}{2/3}+2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}+C =\frac{3}{2}x^{2/3}+4x^{1/2}+C.$$

   г) $$f(x)=4x^{-5}-3x^{-4}$$

   $$F(x)=\int \left(4x^{-5}-3x^{-4}\right)\,dx =4\cdot\frac{x^{-4}}{-4}-3\cdot\frac{x^{-3}}{-3}+C =-x^{-4}+x^{-3}+C.$$

   д) $$f(x)=\frac{5}{3}x^{2/3}-0{,}5x^{-0{,}5}$$

   $$F(x)=\int \left(\frac{5}{3}x^{2/3}-0{,}5x^{-0{,}5}\right)\,dx =\frac{5}{3}\cdot\frac{x^{5/3}}{5/3}-0{,}5\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}+C =x^{5/3}-x^{1/2}+C.$$

   е) $$f(x)=2{,}5x^{-1{,}5}+\frac{4}{3}x^{1/3}$$

   $$F(x)=\int \left(2{,}5x^{-3/2}+\frac{4}{3}x^{1/3}\right)\,dx =2{,}5\cdot\frac{x^{-1/2}}{-1/2}+\frac{4}{3}\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}+C =-5x^{-1/2}+x^{4/3}+C.$$

2. Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.

   а) $$\int_{2}^{4} x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{2}^{4}=\frac{16}{2}-\frac{4}{2}=6.$$

   б) $$\int_{-1}^{3} dx=\left.x\right|_{-1}^{3}=3-(-1)=4.$$

   в) $$\int_{2}^{3} x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{2}^{3}=\frac{27}{3}-\frac{8}{3}=\frac{19}{3}.$$

   г) $$\int_{-1}^{2} x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-1}^{2}=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}.$$

   д) $$\int_{4}^{9}\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\left.\sqrt{x}\right|_{4}^{9}=3-2=1.$$

   е) $$\int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\left.2\sqrt{x}\right|_{1}^{4}=2\cdot 2-2\cdot 1=2.$$

Ответ

Первообразные:
а) $$F(x)=-\frac{1}{2}x^{-2}+\frac{3}{5}x^{5/3}+C$$;
б) $$F(x)=-\frac{1}{x}-\frac{4}{5}x^{5/4}+C$$;
в) $$F(x)=\frac{3}{2}x^{2/3}+4x^{1/2}+C$$;
г) $$F(x)=-x^{-4}+x^{-3}+C$$;
д) $$F(x)=x^{5/3}-x^{1/2}+C$$;
е) $$F(x)=-5x^{-1/2}+x^{4/3}+C$$.

Интегралы:
а) $$6$$; б) $$4$$; в) $$\frac{19}{3}$$; г) $$\frac{15}{4}$$; д) $$1$$; е) $$2$$.