Упр.22.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение и найдите его корни на указанном промежутке:
   а) $$14^{\sin(x)}=7^{\cos(x)}\cdot 2^{\sin(x)}$$, $$[-2,5?; -1,5?]$$;
   б) $$15^{\cos(x)}=3^{\cos(x)}\cdot 5^{-\sin(x)}$$, $$[-?; 2?]$$.

а) $$14^{\sin x}=7^{\cos x}\cdot 2^{\sin x}$$

Представим $$14$$ как $$7\cdot 2$$:

$$(7\cdot 2)^{\sin x}=7^{\cos x}\cdot 2^{\sin x}$$

$$7^{\sin x}\cdot 2^{\sin x}=7^{\cos x}\cdot 2^{\sin x}$$

Так как $$2^{\sin x}>0$$, сокращаем на $$2^{\sin x}$$:

$$7^{\sin x}=7^{\cos x}$$

Следовательно,

$$\sin x=\cos x$$

$$\tan x=1$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

На промежутке $$\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]$$ подходит только

$$x=-\frac{7\pi}{4}$$

б) $$15^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{-\sin x}$$

Представим $$15$$ как $$3\cdot 5$$:

$$(3\cdot 5)^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{-\sin x}$$

$$3^{\cos x}\cdot 5^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{-\sin x}$$

Сокращаем на $$3^{\cos x}$$:

$$5^{\cos x}=5^{-\sin x}$$

Тогда

$$\cos x=-\sin x$$

$$\tan x=-1$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

На промежутке $$\left[-\pi;2\pi\right]$$ получаем:

$$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$$

Ответ

а) $$-\frac{7\pi}{4}$$;

б) $$-\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$$.