Упр.22.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Найдите неопределённый интеграл.
а) $$\int\left(\sin(3x)+e^{-2x}\right)\,dx$$;
б) $$\int\left(\frac{1}{\cos^2(3x)}-\frac{2}{x}\right)\,dx$$;
в) $$\int\left(x^{\frac{1}{3}}+x^{1,5}\right)\,dx$$;
г) $$\int\left(e^{1-2x}+2\cos\frac{x}{2}\right)\,dx$$;
д) $$\int\left(\frac{1}{x}+\frac{3}{\sin^2(6x)}\right)\,dx$$;
е) $$\int\left(\frac{2}{\sqrt{x}}-x^{-0,6}\right)\,dx$$.
Решите уравнение и найдите его корни, принадлежащие данному промежутку:
а) $$\frac{1}{\sin^2 x}+\frac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}=2,\quad \left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]$$;
б) $$\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)}=2,\quad (1;10)$$.
Вычислим неопределённые интегралы:
а)
$$\int (\sin 3x+e^{-2x})\,dx=-\frac13\cos 3x-\frac12e^{-2x}+C;$$б)
$$\int \left(\frac{1}{\cos^2 3x}-2x\right)\,dx=\frac13\tan 3x-x^2+C;$$в)
$$\int \left(\sqrt[3]{x}+x^{1,5}\right)\,dx=\int \left(x^{1/3}+x^{3/2}\right)\,dx=\frac34x^{4/3}+\frac25x^{5/2}+C;$$г)
$$\int \left(e^{1-2x}+2\cos\frac{x}{2}\right)\,dx=-\frac12e^{1-2x}+4\sin\frac{x}{2}+C;$$д)
$$\int \left(\frac1x+\frac{3}{\sin^2 6x}\right)\,dx=\ln|x|-\frac12\cot 6x+C;$$е)
$$\int \left(\frac{2}{\sqrt{x}}-x^{-0,6}\right)\,dx=4\sqrt{x}-\frac52x^{0,4}+C.$$Решим уравнения и выберем корни на заданных промежутках.
а)
$$\frac{1}{\sin^2 x}+\frac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}=2,$$
так как
$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)= -\sin x,$$
получаем
$$\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{\sin x}=2.$$
Умножим на $$\sin^2 x$$:
$$1-\sin x=2\sin^2 x.$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$
Отсюда:
$$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{3\pi}{2};$$
$$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{6}.$$
На отрезке $$\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]$$ подходят
$$x=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{3\pi}{2}.$$б)
$$\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)}=2,$$
а
$$\sin\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)= -\cos x,$$
значит
$$\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{\cos x}=2.$$
Умножим на $$\cos^2 x$$:
$$1-\cos x=2\cos^2 x.$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0,$$
$$D=9,$$
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac12.$$
Следовательно,
$$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n;$$
$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
На промежутке $$(1;10)$$ получаем
$$x=\pi,\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ 3\pi.$$
Ответ
а) $$-\frac13\cos 3x-\frac12e^{-2x}+C;$$
б) $$\frac13\tan 3x-x^2+C;$$
в) $$\frac34x^{4/3}+\frac25x^{5/2}+C;$$
г) $$-\frac12e^{1-2x}+4\sin\frac{x}{2}+C;$$
д) $$\ln|x|-\frac12\cot 6x+C;$$
е) $$4\sqrt{x}-\frac52x^{0,4}+C;$$
а) $$-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{3\pi}{2};$$
б) $$\pi,\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ 3\pi.$$
