Упр.22.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) ?(sin(3x)+e^(-2x))dx; г) ?(e^(1-2x)+2cos(x/2))dx;
б) ?(1/cos^2(3x)-2/x)dx; д) ?(1/x+3/sin^2(6x))dx;
в) ?(x^(1/3)+x^(1,5))dx; е) ?(2/vx-x^(-0,6))dx. Решите уравнение и найдите его корни, принадлежащие данному промежутку:
а) 1/sin^2(x)+1/cos(3?/2+x)=2, [-5?/2; -3?/2];
б) 1/cos^2(x)+1/sin(7?/2-x)=2, (1; 10).

1. Вычислим неопределённые интегралы:

   а)
   $$\int (\sin 3x+e^{-2x})\,dx=-\frac13\cos 3x-\frac12e^{-2x}+C;$$

   б)
   $$\int \left(\frac{1}{\cos^2 3x}-2x\right)\,dx=\frac13\tan 3x-x^2+C;$$

   в)
   $$\int \left(\sqrt[3]{x}+x^{1,5}\right)\,dx=\int \left(x^{1/3}+x^{3/2}\right)\,dx=\frac34x^{4/3}+\frac25x^{5/2}+C;$$

   г)
   $$\int \left(e^{1-2x}+2\cos\frac{x}{2}\right)\,dx=-\frac12e^{1-2x}+4\sin\frac{x}{2}+C;$$

   д)
   $$\int \left(\frac1x+\frac{3}{\sin^2 6x}\right)\,dx=\ln|x|-\frac12\cot 6x+C;$$

   е)
   $$\int \left(\frac{2}{\sqrt{x}}-x^{-0,6}\right)\,dx=4\sqrt{x}-\frac52x^{0,4}+C.$$

2. Решим уравнения и выберем корни на заданных промежутках.

   а)
   $$\frac{1}{\sin^2 x}+\frac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}=2,$$
   так как
   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)= -\sin x,$$
   получаем
   $$\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{\sin x}=2.$$
   Умножим на $$\sin^2 x$$:
   $$ 1-\sin x=2\sin^2 x. $$
   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$ 2y^2+y-1=0, $$
   $$ D=1+8=9, $$
   $$ y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12. $$
   Отсюда:
   $$ \sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{3\pi}{2}; $$
   $$ \sin x=\frac12 \Rightarrow x=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{6}. $$
   На отрезке $$\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]$$ подходят
   $$x=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{3\pi}{2}.$$

   б)
   $$\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)}=2,$$
   а
   $$\sin\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)= -\cos x,$$
   значит
   $$\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{1}{\cos x}=2.$$
   Умножим на $$\cos^2 x$$:
   $$ 1-\cos x=2\cos^2 x. $$
   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
   $$ 2y^2+y-1=0, $$
   $$ D=9, $$
   $$ y_1=-1,\qquad y_2=\frac12. $$
   Следовательно,
   $$ \cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n; $$
   $$ \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n. $$
   На промежутке $$(1;10)$$ получаем
   $$x=\pi,\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ 3\pi.$$

Ответ

а) $$-\frac13\cos 3x-\frac12e^{-2x}+C;$$
б) $$\frac13\tan 3x-x^2+C;$$
в) $$\frac34x^{4/3}+\frac25x^{5/2}+C;$$
г) $$-\frac12e^{1-2x}+4\sin\frac{x}{2}+C;$$
д) $$\ln|x|-\frac12\cot 6x+C;$$
е) $$4\sqrt{x}-\frac52x^{0,4}+C;$$
а) $$-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{3\pi}{2};$$
б) $$\pi,\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ 3\pi.$$