Упр.22.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) ?(x-5)dx; в) ?(x^2-1)dx; д) ?(x^3+2x^2+x)dx;
б) ?(2x+5)dx; г) ?(x^2-x)dx; е) ?(3x^2-4x+1)dx. Решите неравенство:
а) |x^2-4x|·log_2(x+3)?4x-x^2;
б) |x^2-2x|·log_0,1(x+4)?2x-x^2.

Используем формулу неопределённого интеграла для многочлена: интегрируем каждый член отдельно.

а) $$\int (x-5)\,dx=\int x\,dx-\int 5\,dx=\frac{x^2}{2}-5x+C$$

б) $$\int (2x+5)\,dx=\int 2x\,dx+\int 5\,dx=x^2+5x+C$$

в) $$\int (x^2-1)\,dx=\int x^2\,dx-\int 1\,dx=\frac{x^3}{3}-x+C$$

г) $$\int (x^2-x)\,dx=\int x^2\,dx-\int x\,dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$$

д) $$\int (x^3+2x^2+x)\,dx=\int x^3\,dx+\int 2x^2\,dx+\int x\,dx=\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C$$

е) $$\int (3x^2-4x+1)\,dx=\int 3x^2\,dx-\int 4x\,dx+\int 1\,dx=x^3-2x^2+x+C$$

Решим неравенства.

а) $$|x^2-4x|\cdot \log_2(x+3)\le 4x-x^2$$

Заметим, что $$4x-x^2=-(x^2-4x)$$. Тогда:

$$|x^2-4x|\cdot \log_2(x+3)\le -(x^2-4x)$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$x^2-4x\ge 0$$, то $$x\le 0$$ или $$x\ge 4$$, и после деления на неотрицательный множитель получаем:

$$\log_2(x+3)\le -1$$

$$x+3\le \frac12,\quad x\le -\frac52$$

С учётом области определения $$x+3>0$$ получаем $$-3<x\le -\frac52$$.

2) Если $$x^2-4x<0$$, то $$0<x<4$$, и тогда:

$$\log_2(x+3)\le 1$$

$$x+3\le 2,\quad x\le -1$$

С учётом $$0<x<4$$ решений нет.

Итак, для пункта а):

$$(-3;\,-\frac52]\cup\{0\}\cup\{4\}$$

б) $$|x^2-2x|\cdot \log_{0,1}(x+4)\ge 2x-x^2$$

Так как $$2x-x^2=-(x^2-2x)$$, имеем:

$$|x^2-2x|\cdot \log_{0,1}(x+4)\ge -(x^2-2x)$$

1) Если $$x^2-2x\ge 0$$, то $$x\le 0$$ или $$x\ge 2$$, и после деления на неотрицательный множитель:

$$\log_{0,1}(x+4)\ge -1$$

Так как основание $$0{,}1<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$x+4\le 10,\quad x\le 6$$

С учётом случая получаем $$x\le 0$$ или $$2\le x\le 6$$.

2) Если $$x^2-2x<0$$, то $$0<x<2$$, и тогда:

$$\log_{0,1}(x+4)\le 1$$

$$x+4\ge 0{,}1,\quad x\ge -3{,}9$$

С учётом $$0<x<2$$ получаем весь промежуток $$0<x<2$$.

Область определения: $$x+4>0,\quad x>-4$$.

Итак, для пункта б):

$$(-4;\,0]\cup[2;\,6]$$

Ответ

а) $$\frac{x^2}{2}-5x+C;\quad x^2+5x+C;\quad \frac{x^3}{3}-x+C;\quad \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C;\quad \frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C;\quad x^3-2x^2+x+C.$$

б) $$(-3;\,-\frac52]\cup\{0\}\cup\{4\};\quad (-4;\,0]\cup[2;\,6].$$