Упр.22.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) ?x^3(1-x^2)dx; г) ?x^2(x+3)dx;
б) ?2sin(x)cos(x)dx; д) ?(cos^2(2x)-sin^2(2x))dx;
в) ?(x^2-4x-5)/(x+1)dx; е) ?(x-2)/(x^2-5x+6)dx. а) Имеются два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, а второй — 14% меди. При этом масса второго сплава больше массы первого на 8 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.
б) Имеются два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, а второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 300 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
а)
$$\int x^3(1-x^2)\,dx=\int (x^3-x^5)\,dx$$
$$\int (x^3-x^5)\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}+C$$
б)
$$\int 2\sin x\cos x\,dx=\int \sin 2x\,dx$$
$$\int \sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$$
в)
$$\int \frac{x^2-4x-5}{x+1}\,dx=\int (x-5)\,dx$$
$$\int (x-5)\,dx=\frac{x^2}{2}-5x+C$$
г)
$$\int x^2(x+3)\,dx=\int (x^3+3x^2)\,dx$$
$$\int (x^3+3x^2)\,dx=\frac{x^4}{4}+x^3+C$$
д)
$$\int (\cos^2 2x-\sin^2 2x)\,dx=\int \cos 4x\,dx$$
$$\int \cos 4x\,dx=\frac{1}{4}\sin 4x+C$$
е)
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
$$\frac{x-2}{x^2-5x+6}=\frac{x-2}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}, \quad x\ne 2,\; x\ne 3$$
$$\int \frac{x-2}{x^2-5x+6}\,dx=\int \frac{1}{x-3}\,dx=\ln|x-3|+C$$
Ответ
а) $$\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}+C$$; б) $$-\frac{1}{2}\cos 2x+C$$; в) $$\frac{x^2}{2}-5x+C$$; г) $$\frac{x^4}{4}+x^3+C$$; д) $$\frac{1}{4}\sin 4x+C$$; е) $$\ln|x-3|+C$$.
