Упр.22.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x) = 2x + 2, E(F) = [4; +?); б) f(x) = 2 / (1 + x^2), E(F) = (0; 2?);
в) f(x) = 3 — 4x, E(F) = (-?; 1]; г) f(x) = 9sin 3x, E(F) = [-1; 5]. Используя аддитивное свойство определённого интеграла, вычислите (a,b)?f(x)dx:
а) f(x)={1/cos^2(x), -?/4?x?0; 1+sin(x), 0

1. Найдём первообразную для каждой функции и подберём константу по заданной области значений.

   а) $$f(x)=2x+2,\quad E(F)=[4;+\infty).$$

   $$F(x)=\int (2x+2)\,dx=x^2+2x+C.$$

   Так как $$F'(x)=2x+2\ge 0,$$ то $$x\ge -1,$$ и наименьшее значение функции достигается при $$x=-1.$$

   $$F(-1)=1-2+C=4,$$

   откуда $$C=5.$$

   Следовательно, $$F(x)=x^2+2x+5.$$

2. б) $$f(x)=\frac{2}{1+x^2},\quad E(F)=(0;2\pi).$$

   $$F(x)=\int \frac{2}{1+x^2}\,dx=2\arctg x+C.$$

   Так как $$-\frac{\pi}{2}<\arctg x<\frac{\pi}{2},$$ то

   $$-\pi<2\arctg x<\pi.$$

   Чтобы область значений стала $$ (0;2\pi), $$ нужно прибавить $$\pi.$$

   Значит, $$F(x)=2\arctg x+\pi.$$

3. в) $$f(x)=3-4x,\quad E(F)=(-\infty;1].$$

   $$F(x)=\int (3-4x)\,dx=3x-2x^2+C.$$

   Так как $$F'(x)=3-4x\ge 0,$$ то $$x\le \frac34,$$ и наибольшее значение достигается при $$x=\frac34.$$

   $$F\!\left(\frac34\right)=3\cdot\frac34-2\cdot\left(\frac34\right)^2+C=1,$$

   откуда

   $$\frac94-\frac98+C=1,\qquad C=-\frac18.$$

   Следовательно, $$F(x)=3x-2x^2-\frac18.$$

4. г) $$f(x)=9\sin 3x,\quad E(F)=[-1;5].$$

   $$F(x)=\int 9\sin 3x\,dx=-3\cos 3x+C.$$

   Так как $$-1\le \cos 3x\le 1,$$ то

   $$-3\le -3\cos 3x\le 3.$$

   Чтобы область значений стала $$[-1;5],$$ нужно прибавить $$2.$$

   Значит, $$F(x)=2-3\cos 3x.$$

5. Теперь вычислим интегралы, используя аддитивное свойство.

   а) $$f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{\cos^2 x}, & -\dfrac{\pi}{4}\le x\le 0,\\[4pt] 1+\sin x, & 0<x\le \dfrac{\pi}{3} \end{cases}$$

   $$\int_{-\pi/4}^{\pi/3} f(x)\,dx=\int_{-\pi/4}^{0}\frac{1}{\cos^2 x}\,dx+\int_{0}^{\pi/3}(1+\sin x)\,dx.$$

   $$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x,\qquad \int (1+\sin x)\,dx=x-\cos x.$$

   Тогда

   $$\int_{-\pi/4}^{\pi/3} f(x)\,dx=\tg x\Big|_{-\pi/4}^{0}+(x-\cos x)\Big|_{0}^{\pi/3}.$$

   $$= \left(0-(-1)\right)+\left(\frac{\pi}{3}-\frac12\right)-\left(0-1\right)=1+\frac{\pi}{3}-\frac12+1=\frac32+\frac{\pi}{3}.$$

6. б) $$f(x)= \begin{cases} \cos x, & 0\le x\le \dfrac{\pi}{2},\\[4pt] \dfrac{1}{\sin^2 x}-1, & \dfrac{\pi}{2}<x\le \dfrac{3\pi}{4} \end{cases}$$

   $$\int_{0}^{3\pi/4} f(x)\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx+\int_{\pi/2}^{3\pi/4}\left(\frac{1}{\sin^2 x}-1\right)\,dx.$$

   $$\int \cos x\,dx=\sin x,\qquad \int\left(\frac{1}{\sin^2 x}-1\right)\,dx=-\ctg x-x.$$

   Тогда

   $$\int_{0}^{3\pi/4} f(x)\,dx=\sin x\Big|_{0}^{\pi/2}+(-\ctg x-x)\Big|_{\pi/2}^{3\pi/4}.$$

   $$=(1-0)+\left(-\ctg\frac{3\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)-\left(-\ctg\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)=1+\left(1-\frac{3\pi}{4}\right)-\left(0-\frac{\pi}{2}\right)=2-\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$F(x)=x^2+2x+5$$; б) $$F(x)=2\arctg x+\pi$$; в) $$F(x)=3x-2x^2-\frac18$$; г) $$F(x)=2-3\cos 3x$$.

а) $$\frac32+\frac{\pi}{3}$$; б) $$2-\frac{\pi}{4}$$.