Упр.22.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Известно, что первообразная функции y = 1 / (3x — 1) принимает в точке x = 2/3 значение 0. Найдите значение той же первообразной в точке x = (1 + e) / 3. Используя аддитивное свойство определённого интеграла, вычислите (a,b)?f(x)dx:
а) f(x)={(1-2x)^(1/3), -3,5?x?0; 1/(x+1), 0

1. а) Пусть $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)=2\cos^2 x.$$

   Используем формулу $$2\cos^2 x=1+\cos 2x.$$ Тогда

   $$F(x)=\int (1+\cos 2x)\,dx=x+\frac{\sin 2x}{2}+C.$$

   По условию $$F\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,$$ значит

   $$\frac{\pi}{2}+\frac{\sin \pi}{2}+C=0,$$

   откуда $$C=-\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда

   $$F\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{12}+\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{2}-\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{12}+\frac{1}{4}-\frac{\pi}{2} =\frac{3-5\pi}{12}.$$

2. б) Пусть $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)=\frac{1}{3x-1}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\frac{1}{3}\ln|3x-1|+C.$$

   Из условия $$F\left(\frac{2}{3}\right)=0,$$ значит

   $$\frac{1}{3}\ln|1|+C=0,$$

   следовательно, $$C=0.$$

   Теперь найдём значение в точке $$x=\frac{1+e}{3}:$$

   $$F\left(\frac{1+e}{3}\right)=\frac{1}{3}\ln\left|3\cdot\frac{1+e}{3}-1\right| =\frac{1}{3}\ln|e| =\frac{1}{3}.$$

3. а) По аддитивному свойству определённого интеграла:

   $$\int_{-3.5}^{1} f(x)\,dx=\int_{-3.5}^{0}\sqrt[3]{1-2x}\,dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx.$$

   Вычислим первый интеграл заменой $$u=1-2x,$$ тогда $$du=-2\,dx,$$ и

   $$\int \sqrt[3]{1-2x}\,dx=-\frac{3}{8}(1-2x)^{4/3}.$$

   Следовательно,

   $$\int_{-3.5}^{0}\sqrt[3]{1-2x}\,dx =-\frac{3}{8}\Bigl[(1-2x)^{4/3}\Bigr]_{-3.5}^{0} =-\frac{3}{8}\bigl(1-8\bigr) =\frac{21}{8}.$$

   Второй интеграл:

   $$\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|\Big|_{0}^{1}=\ln 2.$$

   Тогда

   $$\int_{-3.5}^{1} f(x)\,dx=\frac{21}{8}+\ln 2.$$

4. б)

   $$\int_{5}^{27} f(x)\,dx=\int_{5}^{8}\frac{1}{9-x}\,dx+\int_{8}^{27}\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\,dx.$$

   Первый интеграл:

   $$\int \frac{1}{9-x}\,dx=-\ln|9-x|,$$

   поэтому

   $$\int_{5}^{8}\frac{1}{9-x}\,dx=-\ln|9-x|\Big|_{5}^{8}=-\ln 1+\ln 4=\ln 4.$$

   Второй интеграл:

   $$\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\,dx=\int 2x^{-1/3}\,dx=3x^{2/3}.$$

   Тогда

   $$\int_{8}^{27}\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\,dx=3x^{2/3}\Big|_{8}^{27}=3\cdot 27^{2/3}-3\cdot 8^{2/3}=27-12=15.$$

   Итак,

   $$\int_{5}^{27} f(x)\,dx=15+\ln 4.$$

Ответ

а) $$\frac{3-5\pi}{12}$$; б) $$\frac{1}{3}$$; в) $$\frac{21}{8}+\ln 2$$; г) $$15+\ln 4$$.