Упр.22.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года.
а) Известно, что первообразная функции $$y=2\cos^2 x$$ принимает в точке $$x=\frac{\pi}{2}$$ значение 0. Найдите значение той же первообразной в точке $$x=\frac{\pi}{12}$$.
б) Известно, что первообразная функции $$y=\frac{1}{3x-1}$$ принимает в точке $$x=\frac{2}{3}$$ значение 0. Найдите значение той же первообразной в точке $$x=\frac{1+e}{3}$$.
- Задание учебника 2022 года.
Используя аддитивное свойство определённого интеграла, вычислите $$\int_a^b f(x)\,dx$$:
а) $$f(x)=\begin{cases}(1-2x)^{1/3},& -3{,}5\leqslant x\leqslant 0,\\[2pt]\frac{1}{x+1},& 0
б) $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{9-x},& 5\leqslant x\leqslant 8,\\[2pt]\frac{2}{x^{1/3}},& 8
а) Пусть $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)=2\cos^2 x.$$
Используем формулу $$2\cos^2 x=1+\cos 2x.$$ Тогда
$$F(x)=\int (1+\cos 2x)\,dx=x+\frac{\sin 2x}{2}+C.$$
По условию $$F\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,$$ значит
$$\frac{\pi}{2}+\frac{\sin \pi}{2}+C=0,$$
откуда $$C=-\frac{\pi}{2}.$$
Тогда
$$F\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{12}+\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{2}-\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{12}+\frac{1}{4}-\frac{\pi}{2} =\frac{3-5\pi}{12}.$$
б) Пусть $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)=\frac{1}{3x-1}.$$
Тогда
$$F(x)=\frac{1}{3}\ln|3x-1|+C.$$
Из условия $$F\left(\frac{2}{3}\right)=0,$$ значит
$$\frac{1}{3}\ln|1|+C=0,$$
следовательно, $$C=0.$$
Теперь найдём значение в точке $$x=\frac{1+e}{3}:$$
$$F\left(\frac{1+e}{3}\right)=\frac{1}{3}\ln\left|3\cdot\frac{1+e}{3}-1\right| =\frac{1}{3}\ln|e| =\frac{1}{3}.$$
а) По аддитивному свойству определённого интеграла:
$$\int_{-3.5}^{1} f(x)\,dx=\int_{-3.5}^{0}\sqrt[3]{1-2x}\,dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx.$$
Вычислим первый интеграл заменой $$u=1-2x,$$ тогда $$du=-2\,dx,$$ и
$$\int \sqrt[3]{1-2x}\,dx=-\frac{3}{8}(1-2x)^{4/3}.$$
Следовательно,
$$\int_{-3.5}^{0}\sqrt[3]{1-2x}\,dx =-\frac{3}{8}\Bigl[(1-2x)^{4/3}\Bigr]_{-3.5}^{0} =-\frac{3}{8}\bigl(1-8\bigr) =\frac{21}{8}.$$
Второй интеграл:
$$\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|\Big|_{0}^{1}=\ln 2.$$
Тогда
$$\int_{-3.5}^{1} f(x)\,dx=\frac{21}{8}+\ln 2.$$
б)
$$\int_{5}^{27} f(x)\,dx=\int_{5}^{8}\frac{1}{9-x}\,dx+\int_{8}^{27}\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\,dx.$$
Первый интеграл:
$$\int \frac{1}{9-x}\,dx=-\ln|9-x|,$$
поэтому
$$\int_{5}^{8}\frac{1}{9-x}\,dx=-\ln|9-x|\Big|_{5}^{8}=-\ln 1+\ln 4=\ln 4.$$
Второй интеграл:
$$\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\,dx=\int 2x^{-1/3}\,dx=3x^{2/3}.$$
Тогда
$$\int_{8}^{27}\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\,dx=3x^{2/3}\Big|_{8}^{27}=3\cdot 27^{2/3}-3\cdot 8^{2/3}=27-12=15.$$
Итак,
$$\int_{5}^{27} f(x)\,dx=15+\ln 4.$$
Ответ
а) $$\frac{3-5\pi}{12}$$; б) $$\frac{1}{3}$$; в) $$\frac{21}{8}+\ln 2$$; г) $$15+\ln 4$$.
