Упр.22.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Точка движется по координатной прямой со скоростью, заданной формулой $$v=v(t)$$. Найдите закон движения $$s=s(t)$$, если известны начальные условия $$(t_0,s_0)$$:
а) $$v=2+6t,\quad t_0=2,\quad s_0=6$$;
б) $$v=-\sin\left(\frac{t}{3}\right),\quad t_0=?,\quad s_0=4$$;
в) $$v=3vt,\quad t_0=4,\quad s_0=10$$;
г) $$v=3+4t,\quad t_0=5,\quad s_0=30$$;
д) $$v=2\cos(4t),\quad t_0=\frac{?}{24},\quad s_0=3{,}75$$;
е) $$v=-\frac{2}{t^2},\quad t_0=0{,}25,\quad s_0=5$$. - Используя аддитивное свойство определённого интеграла, вычислите $$\int_a^b f(x)\,dx$$:
а) $$f(x)=\begin{cases}x+1,&-2\le x\le 0,\\(x-1)^2,&0<x\le 1;\end{cases}$$
б) $$f(x)=\begin{cases}x^2,&0\le x\le 2,\\6-x,&2<x\le 6.\end{cases}$$
Так как $$v(t)=s'(t),$$ то закон движения находим интегрированием: $$s(t)=\int v(t)\,dt+C.$$
а) $$v=2+6t$$
$$s(t)=\int (2+6t)\,dt=2t+3t^2+C.$$
Подставим $$t_0=2,\ s_0=6$$:
$$6=2\cdot 2+3\cdot 2^2+C=4+12+C,$$
$$C=-10.$$
Значит,
$$s(t)=2t+3t^2-10.$$б) $$v=-\sin\frac{t}{3}$$
$$s(t)=\int -\sin\frac{t}{3}\,dt=3\cos\frac{t}{3}+C.$$
По условию $$t_0=\pi,\ s_0=4$$:
$$4=3\cos\frac{\pi}{3}+C=3\cdot\frac12+C,$$
$$C=\frac52.$$
Тогда
$$s(t)=3\cos\frac{t}{3}+\frac52.$$в) $$v=3\sqrt{t}$$
$$s(t)=\int 3t^{1/2}\,dt=2t^{3/2}+C=2t\sqrt{t}+C.$$
При $$t_0=4,\ s_0=10$$:
$$10=2\cdot 4\sqrt{4}+C=16+C,$$
$$C=-6.$$
Следовательно,
$$s(t)=2t\sqrt{t}-6.$$г) $$v=3+4t$$
$$s(t)=\int (3+4t)\,dt=3t+2t^2+C.$$
Подставим $$t_0=5,\ s_0=30$$:
$$30=3\cdot 5+2\cdot 5^2+C=15+50+C,$$
$$C=-35.$$
Значит,
$$s(t)=3t+2t^2-35.$$д) $$v=2\cos 4t$$
$$s(t)=\int 2\cos 4t\,dt=\frac12\sin 4t+C.$$
При $$t_0=\frac{\pi}{24},\ s_0=3{,}75$$:
$$3{,}75=\frac12\sin\frac{\pi}{6}+C=\frac12\cdot\frac12+C,$$
$$C=3{,}5.$$
Тогда
$$s(t)=\frac12\sin 4t+3{,}5.$$е) $$v=-\frac{2}{t^2}$$
$$s(t)=\int -2t^{-2}\,dt=\frac{2}{t}+C.$$
При $$t_0=0{,}25,\ s_0=5$$:
$$5=\frac{2}{0{,}25}+C=8+C,$$
$$C=-3.$$
Следовательно,
$$s(t)=\frac{2}{t}-3.$$Используем аддитивное свойство определённого интеграла.
а) $$f(x)= \begin{cases} x+1, & -2\le x\le 0,\\ (x-1)^2, & 0<x\le 1. \end{cases}$$
$$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx=\int_{-2}^{0}(x+1)\,dx+\int_{0}^{1}(x-1)^2\,dx.$$
Тогда
$$\int_{-2}^{0}(x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Bigg|_{-2}^{0}=0-0=0,$$
$$\int_{0}^{1}(x-1)^2\,dx=\frac{(x-1)^3}{3}\Bigg|_{0}^{1}=0-\left(-\frac13\right)=\frac13.$$
Значит,
$$\int_{-2}^{1} f(x)\,dx=\frac13.$$б) $$f(x)= \begin{cases} x^2, & 0\le x\le 2,\\ 6-x, & 2<x\le 6. \end{cases}$$
$$\int_{0}^{6} f(x)\,dx=\int_{0}^{2}x^2\,dx+\int_{2}^{6}(6-x)\,dx.$$
Вычислим:
$$\int_{0}^{2}x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Bigg|_{0}^{2}=\frac{8}{3},$$
$$\int_{2}^{6}(6-x)\,dx=\left(6x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{2}^{6} =(36-18)-(12-2)=18-10=8.$$
Тогда
$$\int_{0}^{6} f(x)\,dx=\frac{8}{3}+8=\frac{32}{3}=10\frac23.$$
Ответ
а) $$s(t)=2t+3t^2-10$$; б) $$s(t)=3\cos\frac{t}{3}+\frac52$$; в) $$s(t)=2t\sqrt{t}-6$$; г) $$s(t)=3t+2t^2-35$$; д) $$s(t)=\frac12\sin 4t+3{,}5$$; е) $$s(t)=\frac{2}{t}-3$$; а) $$\frac13$$; б) $$10\frac23$$.
