Упр.22.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года.
Точка движется по координатной прямой. Ускорение движения точки задано формулой $$a(t)=6(t+1)^2$$, $$t$$ — время движения. Найдите закон изменения скорости $$v=v(t)$$ и закон движения $$s=s(t)$$, если $$v(1)=10$$, $$s(1)=3$$. - Задание учебника 2022 года.
Точка движется по координатной прямой со скоростью $$v=v(t)$$, где $$t$$ — время в с, а $$v$$ — скорость в см/с. Найдите путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения, если:
а) $$v(t)=2t+4$$;
б) $$v(t)=3t^2-2t+1$$;
в) $$v(t)=\frac{1}{2v(4t+5)}$$;
г) $$v(t)=4t-1$$;
д) $$v(t)=2t^3-6t^2-t$$;
е) $$v(t)=\frac{4}{v(2t+6)}$$.
Так как $$a(t)=v'(t),$$ то находим скорость интегрированием:
$$v(t)=\int 6(t+1)^2\,dt=2(t+1)^3+C.$$
Используем условие $$v(1)=10$$:
$$10=2\cdot 2^3+C=16+C,$$
откуда $$C=-6.$$ Тогда
$$v(t)=2(t+1)^3-6.$$
Теперь найдём закон движения, учитывая, что $$s'(t)=v(t):$$
$$s(t)=\int \bigl(2(t+1)^3-6\bigr)\,dt=\frac{(t+1)^4}{2}-6t+C.$$
Из условия $$s(1)=3$$ получаем:
$$3=\frac{2^4}{2}-6+C=8-6+C,$$
значит, $$C=1.$$ Следовательно,
$$s(t)=\frac{(t+1)^4}{2}-6t+1.$$
Найдём путь за первые $$5$$ с: $$S=\int_0^5 v(t)\,dt.$$
$$v(t)=2t+4$$
$$S=\int_0^5 (2t+4)\,dt=\bigl(t^2+4t\bigr)\Big|_0^5=25+20=45.$$
$$S=45\text{ см}.$$
$$v(t)=3t^2-2t+1$$
$$S=\int_0^5 (3t^2-2t+1)\,dt=\bigl(t^3-t^2+t\bigr)\Big|_0^5=125-25+5=105.$$
$$S=105\text{ см}.$$
$$v(t)=\frac{1}{2\sqrt{4t+5}}$$
$$S=\int_0^5 \frac{dt}{2\sqrt{4t+5}}=\frac14\sqrt{4t+5}\Big|_0^5=\frac14(5-\sqrt5).$$
$$S=\frac{5-\sqrt5}{4}\text{ см}.$$
$$v(t)=4t-1$$
$$S=\int_0^5 (4t-1)\,dt=\bigl(2t^2-t\bigr)\Big|_0^5=50-5=45.$$
$$S=45\text{ см}.$$
$$v(t)=2t^3-6t^2-t$$
$$S=\int_0^5 (2t^3-6t^2-t)\,dt=\left(\frac{t^4}{2}-2t^3-\frac{t^2}{2}\right)\Big|_0^5$$
$$=\frac{625}{2}-250-\frac{25}{2}=50.$$
$$S=50\text{ см}.$$
$$v(t)=\frac{4}{\sqrt{2t+6}}$$
$$S=\int_0^5 \frac{4\,dt}{\sqrt{2t+6}}=4\sqrt{2t+6}\Big|_0^5=4(4-\sqrt6).$$
$$S=4(4-\sqrt6)\text{ см}.$$
Ответ
$$v(t)=2(t+1)^3-6,\qquad s(t)=\frac{(t+1)^4}{2}-6t+1.$$
а) $$45\text{ см}$$; б) $$105\text{ см}$$; в) $$\frac{5-\sqrt5}{4}\text{ см}$$; г) $$45\text{ см}$$; д) $$50\text{ см}$$; е) $$4(4-\sqrt6)\text{ см}$$.
