Упр.22.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=cos(x)-sin(x), P(0; -3);
б) y=1/cos^2(x)+sin(3x), P(?/4; -v2/6);
в) y=cos(x/3+?/6)+1, P(0; 3);
г) y=2sin(x)-cos(x), P(?/2; 8);
д) y=3/sin^2(x)-cos(x/2), P(?/3; -v3);
е) y=1/cos^2(2x+?/4)-x, P(0; -2). Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) (1,e)?(2/x)dx; в) (3,4)?1/(x-2)dx; д) (0,1)?1/(5-4x)dx;
б) (1,e^2)?(1/x)dx; г) (0,2)?3/(3-x)dx; е) (2/3,1)?1/(3x-1)dx.

1. Найдём первообразные и подберём константу по точке.

   а) $$y=\cos x-\sin x$$

   $$F(x)=\sin x+\cos x+C$$

   Из условия $$F(0)=-3$$:

   $$0+1+C=-3,\quad C=-4$$

   $$F(x)=\sin x+\cos x-4$$

   б) $$y=\frac{1}{\cos^2 x}+\sin 3x$$

   $$F(x)=\tg x-\frac13\cos 3x+C$$

   Из условия $$F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{6}$$:

   $$1-\frac13\cdot\frac{\sqrt2}{2}+C=-\frac{\sqrt2}{6}$$

   $$1-\frac{\sqrt2}{6}+C=-\frac{\sqrt2}{6},\quad C=-1$$

   $$F(x)=\tg x-\frac13\cos 3x-1$$

   в) $$y=\cos\!\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+1$$

   $$F(x)=3\sin\!\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+x+C$$

   Из условия $$F(0)=3$$:

   $$3\sin\frac{\pi}{6}+C=3$$

   $$\frac32+C=3,\quad C=\frac32$$

   $$F(x)=3\sin\!\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+x+\frac32$$

   г) $$y=2\sin x-\cos x$$

   $$F(x)=-2\cos x-\sin x+C$$

   Из условия $$F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=8$$:

   $$-2\cdot 0-1+C=8,\quad C=9$$

   $$F(x)=-2\cos x-\sin x+9$$

   д) $$y=\frac{3}{\sin^2 x}-\cos\frac{x}{2}$$

   $$F(x)=-3\ctg x-2\sin\frac{x}{2}+C$$

   Из условия $$F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3$$:

   $$-3\ctg\frac{\pi}{3}-2\sin\frac{\pi}{6}+C=-\sqrt3$$

   $$-3\cdot\frac{1}{\sqrt3}-2\cdot\frac12+C=-\sqrt3$$

   $$-\sqrt3-1+C=-\sqrt3,\quad C=1$$

   $$F(x)=-3\ctg x-2\sin\frac{x}{2}+1$$

   е) $$y=\frac{1}{\cos^2\!\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)}-x$$

   $$F(x)=\frac12\tg\!\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{x^2}{2}+C$$

   Из условия $$F(0)=-2$$:

   $$\frac12\tg\frac{\pi}{4}+C=-2$$

   $$\frac12+C=-2,\quad C=-\frac52$$

   $$F(x)=\frac12\tg\!\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{x^2}{2}-\frac52$$

2. Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.

   а) $$\int_{1}^{e}\frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|\Big|_{1}^{e}=2\ln e-2\ln 1=2$$

   б) $$\int_{1}^{e^2}\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|\Big|_{1}^{e^2}=2\ln e-\ln 1=2$$

   в) $$\int_{3}^{4}\frac{dx}{x-2}=\ln|x-2|\Big|_{3}^{4}=\ln 2-\ln 1=\ln 2$$

   г) $$\int_{0}^{2}\frac{3\,dx}{3-x}=-3\ln|3-x|\Big|_{0}^{2}=-3\ln 1+3\ln 3=3\ln 3$$

   д) $$\int_{0}^{1}\frac{dx}{5-4x}=-\frac14\ln|5-4x|\Big|_{0}^{1}=-\frac14\ln 1+\frac14\ln 5=\frac14\ln 5$$

   е) $$\int_{2/3}^{1}\frac{dx}{3x-1}=\frac13\ln|3x-1|\Big|_{2/3}^{1}=\frac13\ln 2-\frac13\ln 1=\frac13\ln 2$$

Ответ

а) $$\sin x+\cos x-4$$;
б) $$\tg x-\frac13\cos 3x-1$$;
в) $$3\sin\!\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+x+\frac32$$;
г) $$-2\cos x-\sin x+9$$;
д) $$-3\ctg x-2\sin\frac{x}{2}+1$$;
е) $$\frac12\tg\!\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{x^2}{2}-\frac52$$.

Интегралы:
а) $$2$$;
б) $$2$$;
в) $$\ln 2$$;
г) $$3\ln 3$$;
д) $$\frac14\ln 5$$;
е) $$\frac13\ln 2$$.