Упр.22.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Для указанной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку $$P$$:
а) $$y=2x+1,\quad P(2;3);$$
г) $$y=4x-3,\quad P(1;-5);$$
б) $$y=3x^2-x,\quad P(0;1);$$
д) $$y=6x^2+2x,\quad P(1;5);$$
в) $$y=\frac{1}{(x+2)^2},\quad P(-1;2);$$
е) $$y=\frac{1}{\sqrt{2x-1}},\quad P(5;4).$$ - Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) $$\int_0^1 e^x\,dx;$$
в) $$\int_1^2 2e^{2x-3}\,dx;$$
д) $$\int_0^2 2^{2-x}\,dx;$$
б) $$\int_{-1}^0 2e^x\,dx;$$
г) $$\int_{0,5}^1 4e^{5-4x}\,dx;$$
е) $$\int_{-1}^1 3^{x+1}\,dx.$$
Найдём первообразную и подберём константу по точке.
а) $$y=2x+1,\quad P(2;3)$$
$$F(x)=\int (2x+1)\,dx=x^2+x+C$$
Подставим точку $$P(2;3)$$:
$$3=2^2+2+C$$
$$C=-3$$
$$F(x)=x^2+x-3$$
б) $$y=3x^2-x,\quad P(0;1)$$
$$F(x)=\int (3x^2-x)\,dx=x^3-\frac{x^2}{2}+C$$
$$1=0-0+C$$
$$C=1$$
$$F(x)=x^3-\frac{x^2}{2}+1$$
в) $$y=\frac{1}{(x+2)^2},\quad P(-1;2)$$
$$F(x)=\int (x+2)^{-2}\,dx=-\frac{1}{x+2}+C$$
$$2=-\frac{1}{-1+2}+C$$
$$2=-1+C,\quad C=3$$
$$F(x)=-\frac{1}{x+2}+3$$
г) $$y=4x-3,\quad P(1;-5)$$
$$F(x)=\int (4x-3)\,dx=2x^2-3x+C$$
$$-5=2-3+C$$
$$C=-4$$
$$F(x)=2x^2-3x-4$$
д) $$y=6x^2+2x,\quad P(1;5)$$
$$F(x)=\int (6x^2+2x)\,dx=2x^3+x^2+C$$
$$5=2+1+C$$
$$C=2$$
$$F(x)=2x^3+x^2+2$$
е) $$y=\frac{1}{\sqrt{2x-1}},\quad P(5;4)$$
$$F(x)=\int (2x-1)^{-\frac12}\,dx=\sqrt{2x-1}+C$$
$$4=\sqrt{2\cdot 5-1}+C$$
$$4=3+C,\quad C=1$$
$$F(x)=\sqrt{2x-1}+1$$
Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.
а) $$\int_0^1 e^x\,dx=\left.e^x\right|_0^1=e-1$$
б) $$\int_{-1}^0 2e^x\,dx=\left.2e^x\right|_{-1}^0=2\left(1-\frac{1}{e}\right)$$
в) $$\int_1^2 2e^{2x-3}\,dx=\left.e^{2x-3}\right|_1^2=e-\frac{1}{e}$$
г) $$\int_{0.5}^1 4e^{5-4x}\,dx=\left.-e^{5-4x}\right|_{0.5}^1=e^3-e$$
д) $$\int_0^2 2^{2-x}\,dx=\left.-\frac{2^{2-x}}{\ln 2}\right|_0^2=\frac{3}{\ln 2}$$
е) $$\int_{-1}^1 3^{x+1}\,dx=\left.\frac{3^{x+1}}{\ln 3}\right|_{-1}^1=\frac{8}{\ln 3}$$
Ответ
Первообразные:
а) $$x^2+x-3$$;
б) $$x^3-\frac{x^2}{2}+1$$;
в) $$-\frac{1}{x+2}+3$$;
г) $$2x^2-3x-4$$;
д) $$2x^3+x^2+2$$;
е) $$\sqrt{2x-1}+1$$.
Интегралы:
а) $$e-1$$;
б) $$2\left(1-\frac{1}{e}\right)$$;
в) $$e-\frac{1}{e}$$;
г) $$e^3-e$$;
д) $$\frac{3}{\ln 2}$$;
е) $$\frac{8}{\ln 3}$$.
