Упр.22.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) f(x) = 3sin(x/3) — 1 / (2cos^2 (0,5x)); г) f(x) = 2,5cos(5x/2) — 2 / (sin^2 (x/2));
б) f(x) = sin 5x cos 3x; д) f(x) = cos 9x cos x;
в) f(x) = e^(5x-1) — 1 / (5x — 1); е) f(x) = (3x + 1)^(1/3) — 1 / (x + 2)^2. Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) (?/4,3?/4)?cos(x/3-?/12)dx; г) (?/12,?/4)?3sin(3x+?/4)dx;
б) (0,?/4)?2/sin^2(2x+?/4)dx; д) (-?/6,0)?1/(2cos^2(x/2-?/4))dx;
в) -(-?/3,?/3)?sin(x)cos(x)dx; е) (?/12,?/4)?(sin^2(x)-cos^2(x))dx.

1. Найдём первообразные.

   а) $$f(x)=3\sin\frac{x}{3}-\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}$$

   $$F(x)=\int \left(3\sin\frac{x}{3}-\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}\right)\,dx =-9\cos\frac{x}{3}-\tg\frac{x}{2}+C.$$

   б) $$f(x)=\sin 5x\cos 3x$$

   $$\sin 5x\cos 3x=\frac12(\sin 8x+\sin 2x),$$
   поэтому
   $$F(x)=\int \sin 5x\cos 3x\,dx =-\frac{1}{16}\cos 8x-\frac14\cos 2x+C.$$

   в) $$f(x)=e^{5x-1}+\frac{1}{5x-1}$$

   $$F(x)=\int \left(e^{5x-1}+\frac{1}{5x-1}\right)\,dx =\frac15 e^{5x-1}+\frac15\ln|5x-1|+C.$$

   г) $$f(x)=2{,}5\cos\frac{5x}{2}-\frac{2}{\sin^2\frac{x}{2}}$$

   $$F(x)=\int \left(2{,}5\cos\frac{5x}{2}-\frac{2}{\sin^2\frac{x}{2}}\right)\,dx =\sin\frac{5x}{2}+4\ctg\frac{x}{2}+C.$$

   д) $$f(x)=\cos 9x\cos x$$

   $$\cos 9x\cos x=\frac12(\cos 10x+\cos 8x),$$
   значит
   $$F(x)=\int \cos 9x\cos x\,dx =\frac{1}{20}\sin 10x+\frac{1}{16}\sin 8x+C.$$

   е) $$f(x)=\sqrt[3]{3x+1}-\frac{1}{(x+2)^2}$$

   $$F(x)=\int \left(\sqrt[3]{3x+1}-\frac{1}{(x+2)^2}\right)\,dx =\frac14\sqrt[3]{(3x+1)^4}+\frac{1}{x+2}+C.$$

2. Вычислим определённые интегралы.

   а) $$\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{12}\right)\,dx$$

   $$\int \cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{12}\right)\,dx =3\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{12}\right),$$
   поэтому
   $$ 3\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{12}\right)\Bigg|_{\pi/4}^{3\pi/4} =3\sin\frac{\pi}{6}-3\sin 0 =\frac32. $$

   б) $$\int_{0}^{\pi/4}\frac{2}{\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)}\,dx$$

   $$\int \frac{2}{\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)}\,dx =-\ctg\left(2x+\frac{\pi}{4}\right),$$
   значит
   $$ -\ctg\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\Bigg|_{0}^{\pi/4} =-\ctg\frac{3\pi}{4}+\ctg\frac{\pi}{4} =1+1=2. $$

   в) $$-\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\sin x\cos x\,dx$$

   $$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x,$$
   поэтому
   $$ -\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\sin x\cos x\,dx =-\frac12\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\sin 2x\,dx =\frac14\cos 2x\Bigg|_{-\pi/3}^{\pi/3}=0. $$

   г) $$\int_{\pi/12}^{\pi/4}3\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\,dx$$

   $$\int 3\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\,dx =-\cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right),$$
   значит
   $$ -\cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\Bigg|_{\pi/12}^{\pi/4} =-\cos\pi+\cos\frac{\pi}{2}=1. $$

   д) $$\int_{-\pi/6}^{0}\frac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)}\,dx$$

   $$\int \frac{1}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)}\,dx =\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right),$$
   поэтому
   $$ \tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\Bigg|_{-\pi/6}^{0} =\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)-\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right) =\sqrt{3}-1. $$

   е) $$\int_{\pi/12}^{\pi/4}(\sin^2 x-\cos^2 x)\,dx$$

   $$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x,$$
   значит
   $$ \int_{\pi/12}^{\pi/4}(\sin^2 x-\cos^2 x)\,dx =-\frac12\sin 2x\Bigg|_{\pi/12}^{\pi/4} =-\frac12+\frac14=-\frac14. $$

Ответ

Первообразные:
а) $$F(x)=-9\cos\frac{x}{3}-\tg\frac{x}{2}+C$$
б) $$F(x)=-\frac{1}{16}\cos 8x-\frac14\cos 2x+C$$
в) $$F(x)=\frac15 e^{5x-1}+\frac15\ln|5x-1|+C$$
г) $$F(x)=\sin\frac{5x}{2}+4\ctg\frac{x}{2}+C$$
д) $$F(x)=\frac{1}{20}\sin 10x+\frac{1}{16}\sin 8x+C$$
е) $$F(x)=\frac14\sqrt[3]{(3x+1)^4}+\frac{1}{x+2}+C$$

Интегралы:
а) $$\frac32$$
б) $$2$$
в) $$0$$
г) $$1$$
д) $$\sqrt{3}-1$$
е) $$-\frac14$$