Упр.22.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=3e^(3x)+1; г) y=0,25e^(0,5x)-2;
б) y=e^(2-x)+1/(2x) (x>0); д) y=e^(1-2x)-3/x (x>0);
в) y=2^(4x+3)-1/x (x>0); е) y=3^(5x-2)+1/(5x) (x>0).
Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) (0,?/2)?sin(x)dx; в) (?/4,3?/4)?cos(2x)dx; д) (-?/4,?/4)?1/cos^2(x)dx;
б) (-?,-?/2)?cos(x)dx; г) (0,?)?sin(x/2)dx; е) (?/4,3?/4)?1/sin^2(x)dx.

1. Найдём первообразные.

   а) $$\int \left(3e^{3x}+1\right)\,dx=\int 3e^{3x}\,dx+\int 1\,dx=e^{3x}+x+C.$$

   б) $$\int \left(e^{2-x}+\frac{1}{2x}\right)\,dx=\int e^{2-x}\,dx+\frac12\int \frac{1}{x}\,dx=-e^{2-x}+\frac12\ln x+C,\quad x>0.$$

   в) $$\int \left(2^{4x+3}-\frac{1}{x}\right)\,dx=\frac{2^{4x+3}}{4\ln 2}-\ln x+C,\quad x>0.$$

   г) $$\int \left(0{,}25e^{0{,}5x}-2\right)\,dx=0{,}25\cdot \frac{1}{0{,}5}e^{0{,}5x}-2x+C=0{,}5e^{0{,}5x}-2x+C.$$

   д) $$\int \left(e^{1-2x}-\frac{3}{x}\right)\,dx=-\frac12 e^{1-2x}-3\ln x+C,\quad x>0.$$

   е) $$\int \left(3^{5x-2}+\frac{1}{5x}\right)\,dx=\frac{3^{5x-2}}{5\ln 3}+\frac15\ln x+C,\quad x>0.$$

2. Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.

   а) $$\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi/2}=-\cos\frac{\pi}{2}+\cos 0=1.$$

   б) $$\int_{-\pi}^{-\pi/2}\cos x\,dx=\left[\sin x\right]_{-\pi}^{-\pi/2}=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\sin(-\pi)=-1.$$

   в) $$\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\cos 2x\,dx=\left[\frac12\sin 2x\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}=\frac12\left(\sin\frac{3\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\right)=-1.$$

   г) $$\int_{0}^{\pi}\sin\frac{x}{2}\,dx=\left[-2\cos\frac{x}{2}\right]_{0}^{\pi}=-2\cos\frac{\pi}{2}+2\cos 0=2.$$

   д) $$\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\left[\tan x\right]_{-\pi/4}^{\pi/4}=1-(-1)=2.$$

   е) $$\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\frac{1}{\sin^2 x}\,dx=\left[-\cot x\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}=-\cot\frac{3\pi}{4}+\cot\frac{\pi}{4}=2.$$

Ответ

а) $$F(x)=e^{3x}+x+C$$; б) $$F(x)=-e^{2-x}+\frac12\ln x+C$$; в) $$F(x)=\frac{2^{4x+3}}{4\ln 2}-\ln x+C$$; г) $$F(x)=0{,}5e^{0{,}5x}-2x+C$$; д) $$F(x)=-\frac12 e^{1-2x}-3\ln x+C$$; е) $$F(x)=\frac{3^{5x-2}}{5\ln 3}+\frac15\ln x+C$$.

а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$-1$$; г) $$2$$; д) $$2$$; е) $$2$$.