Упр.22.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. Найдите множество всех первообразных заданной функции:
а) $$y=3e^{3x}+1$$;
б) $$y=e^{2-x}+\frac{1}{2x},\quad x>0$$;
в) $$y=2^{4x+3}-\frac{1}{x},\quad x>0$$;
г) $$y=0{,}25e^{0{,}5x}-2$$;
д) $$y=e^{1-2x}-\frac{3}{x},\quad x>0$$;
е) $$y=3^{5x-2}+\frac{1}{5x},\quad x>0$$.
Задание учебника 2022 года. Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)\,dx$$;
б) $$\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$$;
в) $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\cos(2x)\,dx$$;
г) $$\int_0^\pi\sin\left(\frac{x}{2}\right)\,dx$$;
д) $$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^2(x)}\,dx$$;
е) $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1}{\sin^2(x)}\,dx$$.
Найдём первообразные.
а) $$\int \left(3e^{3x}+1\right)\,dx=\int 3e^{3x}\,dx+\int 1\,dx=e^{3x}+x+C.$$
б) $$\int \left(e^{2-x}+\frac{1}{2x}\right)\,dx=\int e^{2-x}\,dx+\frac12\int \frac{1}{x}\,dx=-e^{2-x}+\frac12\ln x+C,\quad x>0.$$
в) $$\int \left(2^{4x+3}-\frac{1}{x}\right)\,dx=\frac{2^{4x+3}}{4\ln 2}-\ln x+C,\quad x>0.$$
г) $$\int \left(0{,}25e^{0{,}5x}-2\right)\,dx=0{,}25\cdot \frac{1}{0{,}5}e^{0{,}5x}-2x+C=0{,}5e^{0{,}5x}-2x+C.$$
д) $$\int \left(e^{1-2x}-\frac{3}{x}\right)\,dx=-\frac12 e^{1-2x}-3\ln x+C,\quad x>0.$$
е) $$\int \left(3^{5x-2}+\frac{1}{5x}\right)\,dx=\frac{3^{5x-2}}{5\ln 3}+\frac15\ln x+C,\quad x>0.$$
Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.
а) $$\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi/2}=-\cos\frac{\pi}{2}+\cos 0=1.$$
б) $$\int_{-\pi}^{-\pi/2}\cos x\,dx=\left[\sin x\right]_{-\pi}^{-\pi/2}=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\sin(-\pi)=-1.$$
в) $$\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\cos 2x\,dx=\left[\frac12\sin 2x\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}=\frac12\left(\sin\frac{3\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\right)=-1.$$
г) $$\int_{0}^{\pi}\sin\frac{x}{2}\,dx=\left[-2\cos\frac{x}{2}\right]_{0}^{\pi}=-2\cos\frac{\pi}{2}+2\cos 0=2.$$
д) $$\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\left[\tan x\right]_{-\pi/4}^{\pi/4}=1-(-1)=2.$$
е) $$\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\frac{1}{\sin^2 x}\,dx=\left[-\cot x\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}=-\cot\frac{3\pi}{4}+\cot\frac{\pi}{4}=2.$$
Ответ
а) $$F(x)=e^{3x}+x+C$$; б) $$F(x)=-e^{2-x}+\frac12\ln x+C$$; в) $$F(x)=\frac{2^{4x+3}}{4\ln 2}-\ln x+C$$; г) $$F(x)=0{,}5e^{0{,}5x}-2x+C$$; д) $$F(x)=-\frac12 e^{1-2x}-3\ln x+C$$; е) $$F(x)=\frac{3^{5x-2}}{5\ln 3}+\frac15\ln x+C$$.
а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$-1$$; г) $$2$$; д) $$2$$; е) $$2$$.
