Упр.22.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Найдите множество всех первообразных заданной функции:
- а) $$y=\frac{1}{(2x+3)^2}$$;
- г) $$y=\frac{4}{(4x-3)^3}$$;
- б) $$y=\frac{3}{2\sqrt{3x-7}}$$;
- д) $$y=\frac{-5}{(5x+2)^{1/3}}$$;
- в) $$y=(1-6x)^{-1/6}$$;
- е) $$y=(5-6x)^{3/4}$$.
Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
- а) $$\int_{0}^{3}\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx$$;
- в) $$\int_{-1}^{0}\frac{1}{(3x+4)^{1/4}}\,dx$$;
- д) $$\int_{-2}^{2}\frac{2}{\sqrt{5-2x}}\,dx$$;
- б) $$\int_{-7}^{-2}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx$$;
- г) $$\int_{0}^{3}\frac{1}{2(5x+1)^{1/4}}\,dx$$;
- е) $$\int_{-6}^{0}\frac{6}{\sqrt{1-4x}}\,dx$$.
Найдём первообразные:
а) $$\int \frac{1}{(2x+3)^2}\,dx=\frac12\int (2x+3)^{-2}\,d(2x+3)=-\frac{1}{2(2x+3)}+C;$$
б) $$\int \frac{3}{2\sqrt{3x-7}}\,dx=\frac32\int (3x-7)^{-1/2}\,dx=\sqrt{3x-7}+C;$$
в) $$\int (1-6x)^{-1/6}\,dx=-\frac{1}{5}(1-6x)^{5/6}+C;$$
г) $$\int \frac{4}{(4x-3)^3}\,dx=4\int (4x-3)^{-3}\,dx=-\frac{1}{2(4x-3)^2}+C;$$
д) $$\int -\frac{5}{\sqrt[3]{5x+2}}\,dx=-5\int (5x+2)^{-1/3}\,dx=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{(5x+2)^2}+C;$$
е) $$\int (5-6x)^{3/4}\,dx=-\frac{2}{21}(5-6x)^{7/4}+C.$$
Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница:
а) $$\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx=2\sqrt{x+1}\Big|_0^3=2(2-1)=2;$$
б) $$\int_{-7}^{-2}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx=-2\sqrt{2-x}\Big|_{-7}^{-2}=-2\cdot 2+2\cdot 3=2;$$
в) $$\int_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt[4]{3x+4}}\,dx=\frac{4}{9}(3x+4)^{3/4}\Big|_{-1}^{0}=\frac{4}{9}(2\sqrt[4]{8}-1);$$
г) $$\int_0^3 \frac{1}{2\sqrt[4]{5x+1}}\,dx=\frac{2}{15}(5x+1)^{3/4}\Big|_0^3=\frac{14}{15};$$
д) $$\int_{-2}^{2}\frac{2}{\sqrt{5-2x}}\,dx=-2\sqrt{5-2x}\Big|_{-2}^{2}=4;$$
е) $$\int_{-6}^{0}\frac{6}{\sqrt{1-4x}}\,dx=-3\sqrt{1-4x}\Big|_{-6}^{0}=12.$$
Ответ
а) $$-\frac{1}{2(2x+3)}+C$$; б) $$\sqrt{3x-7}+C$$; в) $$-\frac{1}{5}(1-6x)^{5/6}+C$$; г) $$-\frac{1}{2(4x-3)^2}+C$$; д) $$-\frac{3}{2}\sqrt[3]{(5x+2)^2}+C$$; е) $$-\frac{2}{21}(5-6x)^{7/4}+C$$.
а) $$2$$; б) $$2$$; в) $$\frac{4}{9}(2\sqrt[4]{8}-1)$$; г) $$\frac{14}{15}$$; д) $$4$$; е) $$12$$.
