Упр.22.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=1/(2x+3)^2; г) y=4/(4x-3)^3;
б) y=3/(2v(3x-7)); д) y=-5/(5x+2)^(1/3);
в) y=(1-6x)^(-1/6); е) y=(5-6x)^(3/4). Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) (0,3)?1/v(x+1)dx; в) (-1,0)?1/(3x+4)^(1/4)dx; д) (-2,2)?2/v(5-2x)dx;
б) (-7,-2)?1/v(2-x)dx; г) (0,3)?1/(2(5x+1)^(1/4))dx; е) (-6,0)?6/v(1-4x)dx.

1. Найдём первообразные:

   а) $$\int \frac{1}{(2x+3)^2}\,dx=\frac12\int (2x+3)^{-2}\,d(2x+3)=-\frac{1}{2(2x+3)}+C;$$

   б) $$\int \frac{3}{2\sqrt{3x-7}}\,dx=\frac32\int (3x-7)^{-1/2}\,dx=\sqrt{3x-7}+C;$$

   в) $$\int (1-6x)^{-1/6}\,dx=-\frac{1}{5}(1-6x)^{5/6}+C;$$

   г) $$\int \frac{4}{(4x-3)^3}\,dx=4\int (4x-3)^{-3}\,dx=-\frac{1}{2(4x-3)^2}+C;$$

   д) $$\int -\frac{5}{\sqrt[3]{5x+2}}\,dx=-5\int (5x+2)^{-1/3}\,dx=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{(5x+2)^2}+C;$$

   е) $$\int (5-6x)^{3/4}\,dx=-\frac{2}{21}(5-6x)^{7/4}+C.$$

2. Вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница:

   а) $$\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx=2\sqrt{x+1}\Big|_0^3=2(2-1)=2;$$

   б) $$\int_{-7}^{-2}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx=-2\sqrt{2-x}\Big|_{-7}^{-2}=-2\cdot 2+2\cdot 3=2;$$

   в) $$\int_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt[4]{3x+4}}\,dx=\frac{4}{9}(3x+4)^{3/4}\Big|_{-1}^{0}=\frac{4}{9}(2\sqrt[4]{8}-1);$$

   г) $$\int_0^3 \frac{1}{2\sqrt[4]{5x+1}}\,dx=\frac{2}{15}(5x+1)^{3/4}\Big|_0^3=\frac{14}{15};$$

   д) $$\int_{-2}^{2}\frac{2}{\sqrt{5-2x}}\,dx=-2\sqrt{5-2x}\Big|_{-2}^{2}=4;$$

   е) $$\int_{-6}^{0}\frac{6}{\sqrt{1-4x}}\,dx=-3\sqrt{1-4x}\Big|_{-6}^{0}=12.$$

Ответ

а) $$-\frac{1}{2(2x+3)}+C$$; б) $$\sqrt{3x-7}+C$$; в) $$-\frac{1}{5}(1-6x)^{5/6}+C$$; г) $$-\frac{1}{2(4x-3)^2}+C$$; д) $$-\frac{3}{2}\sqrt[3]{(5x+2)^2}+C$$; е) $$-\frac{2}{21}(5-6x)^{7/4}+C$$.

а) $$2$$; б) $$2$$; в) $$\frac{4}{9}(2\sqrt[4]{8}-1)$$; г) $$\frac{14}{15}$$; д) $$4$$; е) $$12$$.