Упр.22.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите множество всех первообразных заданной функции:
а) $$y=\sin(4x+1)$$;
б) $$y=2\cos(7-2x)$$;
в) $$y=\frac{-5}{\sin^2(5x+2)}$$;
г) $$y=\cos(5x-3)$$;
д) $$y=-3\sin(5-6x)$$;
е) $$y=\frac{1}{3\cos^2\left(\frac{x}{3}-1\right)}$$. - Задание учебника 2022 года. Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) $$\int_{3}^{4}\frac{1}{(x-2)^2}\,dx$$;
б) $$\int_{-1}^{2}\frac{1}{(3-x)^2}\,dx$$;
в) $$\int_{-2}^{-1}\frac{3}{(1-2x)^2}\,dx$$;
г) $$\int_{0}^{3}\frac{4}{(3+4x)^2}\,dx$$;
д) $$\int_{0}^{1}\frac{8}{(2x+3)^3}\,dx$$;
е) $$\int_{0}^{1}\frac{12}{(4x+5)^4}\,dx$$.
Найдём первообразные, используя правило замены переменной:
$$\int \sin(ax+b)\,dx=-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C,$$
$$\int \cos(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax+b)+C,$$
$$\int \frac{dx}{\sin^2(ax+b)}=\frac{1}{a}\ctg(ax+b)+C,$$
$$\int \frac{dx}{\cos^2(ax+b)}=\frac{1}{a}\tg(ax+b)+C.$$
$$y=\sin(4x+1)$$
$$F(x)=-\frac14\cos(4x+1)+C.$$
$$y=2\cos(7-2x)$$
$$F(x)=\int 2\cos(7-2x)\,dx=-\sin(7-2x)+C.$$
$$y=-\frac{5}{\sin^2(5x+2)}$$
$$F(x)=-5\int \frac{dx}{\sin^2(5x+2)}=-\ctg(5x+2)+C.$$
$$y=\cos(5x-3)$$
$$F(x)=\frac15\sin(5x-3)+C.$$
$$y=-3\sin(5-6x)$$
$$F(x)=\int -3\sin(5-6x)\,dx=-\frac12\cos(5-6x)+C.$$
$$y=\frac{1}{3\cos^2\left(\frac{x}{3}-1\right)}$$
$$F(x)=\frac13\int \frac{dx}{\cos^2\left(\frac{x}{3}-1\right)}=\tg\left(\frac{x}{3}-1\right)+C.$$
Теперь вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.
$$\int_{3}^{4}\frac{1}{(x-2)^2}\,dx=\left.-\frac{1}{x-2}\right|_{3}^{4}=-\frac12-(-1)=\frac12.$$
$$\int_{-1}^{2}\frac{1}{(3-x)^2}\,dx=\left.\frac{1}{3-x}\right|_{-1}^{2}=1-\frac14=\frac34.$$
$$\int_{-2}^{-1}\frac{3}{(1-2x)^2}\,dx=\left.\frac{3}{2(1-2x)}\right|_{-2}^{-1}=\frac{3}{2\cdot 3}-\frac{3}{2\cdot 5}=\frac12-\frac{3}{10}=\frac15.$$
$$\int_{0}^{3}\frac{4}{(3+4x)^2}\,dx=\left.-\frac{1}{3+4x}\right|_{0}^{3}=-\frac{1}{15}+\frac13=\frac{4}{15}.$$
$$\int_{0}^{1}\frac{8}{(2x+3)^3}\,dx=\left.-\frac{2}{(2x+3)^2}\right|_{0}^{1}=-\frac{2}{25}+\frac{2}{9}=\frac{32}{225}.$$
$$\int_{0}^{1}\frac{12}{(4x+5)^4}\,dx=\left.-\frac{1}{(4x+5)^3}\right|_{0}^{1}=-\frac{1}{9^3}+\frac{1}{5^3}=\frac{9^3-5^3}{9^3\cdot 5^3}.$$
Ответ
$$F(x)=-\frac14\cos(4x+1)+C,\quad F(x)=-\sin(7-2x)+C,\quad F(x)=-\ctg(5x+2)+C,$$
$$F(x)=\frac15\sin(5x-3)+C,\quad F(x)=-\frac12\cos(5-6x)+C,\quad F(x)=\tg\left(\frac{x}{3}-1\right)+C;$$
$$\frac12,\ \frac34,\ \frac15,\ \frac{4}{15},\ \frac{32}{225},\ \frac{9^3-5^3}{9^3\cdot 5^3}.$$
