Упр.22.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=sin(4x+1); г) y=cos(5x-3);
б) y=2cos(7-2x); д) y=-3sin(5-6x);
в) y=-5/sin^2(5x+2); е) y=1/(3cos^2(x/3-1)). Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) (3,4)?1/(x-2)^2dx; в) (-2,-1)?3/(1-2x)^2dx; д) (0,1)?8/(2x+3)^3dx;
б) (-1,2)?1/(3-x)^2dx; г) (0,3)?4/(3+4x)^2dx; е) (0,1)?12/(4x+5)^4dx.

Найдём первообразные, используя правило замены переменной:

$$\int \sin(ax+b)\,dx=-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C,$$
$$\int \cos(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax+b)+C,$$
$$\int \frac{dx}{\sin^2(ax+b)}=\frac{1}{a}\ctg(ax+b)+C,$$
$$\int \frac{dx}{\cos^2(ax+b)}=\frac{1}{a}\tg(ax+b)+C.$$

1. $$y=\sin(4x+1)$$

   $$F(x)=-\frac14\cos(4x+1)+C.$$

2. $$y=2\cos(7-2x)$$

   $$F(x)=\int 2\cos(7-2x)\,dx=-\sin(7-2x)+C.$$

3. $$y=-\frac{5}{\sin^2(5x+2)}$$

   $$F(x)=-5\int \frac{dx}{\sin^2(5x+2)}=-\ctg(5x+2)+C.$$

4. $$y=\cos(5x-3)$$

   $$F(x)=\frac15\sin(5x-3)+C.$$

5. $$y=-3\sin(5-6x)$$

   $$F(x)=\int -3\sin(5-6x)\,dx=-\frac12\cos(5-6x)+C.$$

6. $$y=\frac{1}{3\cos^2\left(\frac{x}{3}-1\right)}$$

   $$F(x)=\frac13\int \frac{dx}{\cos^2\left(\frac{x}{3}-1\right)}=\tg\left(\frac{x}{3}-1\right)+C.$$

Теперь вычислим определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница.

1. $$\int_{3}^{4}\frac{1}{(x-2)^2}\,dx=\left.-\frac{1}{x-2}\right|_{3}^{4}=-\frac12-(-1)=\frac12.$$

2. $$\int_{-1}^{2}\frac{1}{(3-x)^2}\,dx=\left.\frac{1}{3-x}\right|_{-1}^{2}=1-\frac14=\frac34.$$

3. $$\int_{-2}^{-1}\frac{3}{(1-2x)^2}\,dx=\left.\frac{3}{2(1-2x)}\right|_{-2}^{-1}=\frac{3}{2\cdot 3}-\frac{3}{2\cdot 5}=\frac12-\frac{3}{10}=\frac15.$$

4. $$\int_{0}^{3}\frac{4}{(3+4x)^2}\,dx=\left.-\frac{1}{3+4x}\right|_{0}^{3}=-\frac{1}{15}+\frac13=\frac{4}{15}.$$

5. $$\int_{0}^{1}\frac{8}{(2x+3)^3}\,dx=\left.-\frac{2}{(2x+3)^2}\right|_{0}^{1}=-\frac{2}{25}+\frac{2}{9}=\frac{32}{225}.$$

6. $$\int_{0}^{1}\frac{12}{(4x+5)^4}\,dx=\left.-\frac{1}{(4x+5)^3}\right|_{0}^{1}=-\frac{1}{9^3}+\frac{1}{5^3}=\frac{9^3-5^3}{9^3\cdot 5^3}.$$

Ответ

$$F(x)=-\frac14\cos(4x+1)+C,\quad F(x)=-\sin(7-2x)+C,\quad F(x)=-\ctg(5x+2)+C,$$
$$F(x)=\frac15\sin(5x-3)+C,\quad F(x)=-\frac12\cos(5-6x)+C,\quad F(x)=\tg\left(\frac{x}{3}-1\right)+C;$$
$$\frac12,\ \frac34,\ \frac15,\ \frac{4}{15},\ \frac{32}{225},\ \frac{9^3-5^3}{9^3\cdot 5^3}.$$