Упр.22.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции $$y=f(x)$$:
а) $$f(x)=x+1$$; в) $$f(x)=2x-5$$; д) $$f(x)=\frac{x+2}{3}$$; б) $$f(x)=x-3$$; г) $$f(x)=-3x+4$$; е) $$f(x)=\frac{4x-1}{6}$$.
Пусть палеткой является координатная плоскость с сеткой из квадратов размера $$1\times1$$ с вершинами, координаты которых — целые числа.
а) Постройте криволинейную трапецию $$T$$, ограниченную параболой $$y=x^2$$, $$0\leqslant x\leqslant3$$, и осью $$Ox$$.
б) Найдите число $$N_{\text{нижн}}$$ квадратов, целиком содержащихся в $$T$$.
в) Найдите число $$N_{\text{верхн}}$$ квадратов, имеющих с $$T$$ общие внутренние точки.
г) Вычислите приближённое значение $$S_{\text{прибл}}=\frac{N_{\text{нижн}}+N_{\text{верхн}}}{2}\cdot S_{\text{квадр}}$$ площади трапеции $$T$$.
д) Вычислите точное значение $$S=\int_0^3x^2\,dx$$ этой площади.
е) Найдите абсолютную погрешность $$\left|S-S_{\text{прибл}}\right|$$ приближения.
Для каждой функции найдём первообразную по правилу:
$$\int (ax+b)\,dx=\frac{a}{2}x^2+bx+C.$$
$$f(x)=x+1$$
$$F(x)=\int (x+1)\,dx=\frac{x^2}{2}+x+C.$$
$$f(x)=x-3$$
$$F(x)=\int (x-3)\,dx=\frac{x^2}{2}-3x+C.$$
$$f(x)=2x-5$$
$$F(x)=\int (2x-5)\,dx=x^2-5x+C.$$
$$f(x)=-3x+4$$
$$F(x)=\int (-3x+4)\,dx=-\frac{3x^2}{2}+4x+C.$$
$$f(x)=\frac{x+2}{3}$$
$$F(x)=\int \frac{x+2}{3}\,dx=\frac{x^2}{6}+\frac{2x}{3}+C.$$
$$f(x)=\frac{4x-1}{6}$$
$$F(x)=\int \frac{4x-1}{6}\,dx=\frac{x^2}{3}-\frac{x}{6}+C.$$
Ответ
а) $$F(x)=\frac{x^2}{2}+x+C$$;
б) $$F(x)=\frac{x^2}{2}-3x+C$$;
в) $$F(x)=x^2-5x+C$$;
г) $$F(x)=-\frac{3x^2}{2}+4x+C$$;
д) $$F(x)=\frac{x^2}{6}+\frac{2x}{3}+C$$;
е) $$F(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{x}{6}+C$$.
