Упр.21.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Для указанной функции $$y=f(x)$$ найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку $$P$$:
- а) $$y=-\frac{1}{x^2}$$, $$P(-1; 1)$$;
- г) $$y=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$, $$P(0,25; 2)$$;
- б) $$y=6x^2$$, $$P(-2; 3)$$;
- д) $$y=4x^3$$, $$P(1; -0,5)$$;
- в) $$y=e^x$$, $$P(0; 2)$$;
- е) $$y=\frac{1}{x}$$, $$P(1; 1)$$.
Для указанной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку $$P$$:
- а) $$y=2x+1$$, $$P(2; 3)$$;
- г) $$y=4x-3$$, $$P(1; -5)$$;
- б) $$y=3x^2-x$$, $$P(0; 1)$$;
- д) $$y=6x^2+2x$$, $$P(1; 5)$$;
- в) $$y=\frac{1}{(x+2)^2}$$, $$P(-1; 2)$$;
- е) $$y=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$$, $$P(5; 4)$$.
а) $$y=-\frac{1}{x^2}$$, $$P(-1;1)$$
Найдём первообразную:
$$F(x)=\int -x^{-2}\,dx=\frac{1}{x}+C$$
Подставим точку $$P(-1;1)$$:
$$1=\frac{1}{-1}+C$$
$$1=-1+C,\quad C=2$$
$$F(x)=\frac{1}{x}+2$$
б) $$y=6x^2$$, $$P(-2;3)$$
$$F(x)=\int 6x^2\,dx=2x^3+C$$
$$3=2\cdot(-2)^3+C$$
$$3=-16+C,\quad C=19$$
$$F(x)=2x^3+19$$
в) $$y=e^x$$, $$P(0;2)$$
$$F(x)=\int e^x\,dx=e^x+C$$
$$2=e^0+C$$
$$2=1+C,\quad C=1$$
$$F(x)=e^x+1$$
г) $$y=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$, $$P(0{,}25;2)$$
$$F(x)=\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\int \frac{1}{2}x^{-1/2}\,dx=\sqrt{x}+C$$
$$2=\sqrt{0{,}25}+C$$
$$2=0{,}5+C,\quad C=1{,}5$$
$$F(x)=\sqrt{x}+1{,}5$$
д) $$y=4x^3$$, $$P(1;-0{,}5)$$
$$F(x)=\int 4x^3\,dx=x^4+C$$
$$-0{,}5=1+C,\quad C=-1{,}5$$
$$F(x)=x^4-1{,}5$$
е) $$y=\frac{1}{x}$$, $$P(1;1)$$
$$F(x)=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$$
$$1=\ln|1|+C$$
$$1=0+C,\quad C=1$$
$$F(x)=\ln|x|+1$$
а) $$y=2x+1$$, $$P(2;3)$$
$$F(x)=\int (2x+1)\,dx=x^2+x+C$$
$$3=2^2+2+C$$
$$3=4+2+C,\quad C=-3$$
$$F(x)=x^2+x-3$$
б) $$y=3x^2-x$$, $$P(0;1)$$
$$F(x)=\int (3x^2-x)\,dx=x^3-\frac{x^2}{2}+C$$
$$1=0-0+C,\quad C=1$$
$$F(x)=x^3-\frac{x^2}{2}+1$$
в) $$y=\frac{1}{(x+2)^2}$$, $$P(-1;2)$$
$$F(x)=\int (x+2)^{-2}\,dx=-\frac{1}{x+2}+C$$
$$2=-\frac{1}{-1+2}+C$$
$$2=-1+C,\quad C=3$$
$$F(x)=-\frac{1}{x+2}+3$$
г) $$y=4x-3$$, $$P(1;-5)$$
$$F(x)=\int (4x-3)\,dx=2x^2-3x+C$$
$$-5=2\cdot 1^2-3\cdot 1+C$$
$$-5=2-3+C,\quad C=-4$$
$$F(x)=2x^2-3x-4$$
д) $$y=6x^2+2x$$, $$P(1;5)$$
$$F(x)=\int (6x^2+2x)\,dx=2x^3+x^2+C$$
$$5=2\cdot 1^3+1^2+C$$
$$5=2+1+C,\quad C=2$$
$$F(x)=2x^3+x^2+2$$
е) $$y=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$$, $$P(5;4)$$
$$F(x)=\int (2x-1)^{-1/2}\,dx=\sqrt{2x-1}+C$$
$$4=\sqrt{2\cdot 5-1}+C$$
$$4=3+C,\quad C=1$$
$$F(x)=\sqrt{2x-1}+1$$
Ответ
1) $$\frac{1}{x}+2$$; $$2x^3+19$$; $$e^x+1$$; $$\sqrt{x}+1{,}5$$; $$x^4-1{,}5$$; $$\ln|x|+1$$.
2) $$x^2+x-3$$; $$x^3-\frac{x^2}{2}+1$$; $$-\frac{1}{x+2}+3$$; $$2x^2-3x-4$$; $$2x^3+x^2+2$$; $$\sqrt{2x-1}+1$$.
