Упр.21.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=sin(2x); в) y=2cos^2(x/2)-1; д) y=tg^2(x);
б) y=1-cos(x); г) y=sin(x)cos(x); е) y=1+ctg^2(x). Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции y=f(x):
а) f(x)=e^x-x^(-1) (x>0); г) f(x)=10^x+3/x (x>0);
б) f(x)=e^(-x)-x^(-1) (x>0); д) f(x)=e^(2-3x)-2x^(-1) (x>0);
в) f(x)=2^x-1/(2x) (x>0); е) f(x)=e^(5x-4)+1/(5x) (x>0).
Найдём первообразные, используя стандартные формулы:
$$\int \sin ax\,dx=-\frac{1}{a}\cos ax+C,$$
$$\int \cos x\,dx=\sin x+C,$$
$$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x,$$
$$\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}-1,$$
$$1+\ctg^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}.$$
$$\int \sin 2x\,dx=-\frac12\cos 2x+C.$$
$$\int (1-\cos x)\,dx=x-\sin x+C.$$
$$2\cos^2\frac{x}{2}-1=\cos x,$$
значит
$$\int \left(2\cos^2\frac{x}{2}-1\right)\,dx=\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$$$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x,$$
поэтому
$$\int \sin x\cos x\,dx=\frac12\int \sin 2x\,dx=-\frac14\cos 2x+C.$$$$\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}-1,$$
следовательно
$$\int \tg^2 x\,dx=\int \left(\frac{1}{\cos^2 x}-1\right)dx=\tg x-x+C.$$$$1+\ctg^2 x=\frac{1}{\sin^2 x},$$
значит
$$\int (1+\ctg^2 x)\,dx=\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\ctg x+C.$$
Для функций вида $$f(x)$$ при $$x>0$$:
$$\int \left(e^x-x^{-1}\right)dx=e^x-\ln x+C.$$
$$\int \left(e^{-x}-x^{-1}\right)dx=-e^{-x}-\ln x+C.$$
$$\int \left(2^x-\frac{1}{2x}\right)dx=\frac{2^x}{\ln 2}-\frac12\ln x+C.$$
$$\int \left(10^x+\frac{3}{x}\right)dx=\frac{10^x}{\ln 10}+3\ln x+C.$$
$$\int \left(e^{2-3x}-2x^{-1}\right)dx=-\frac13e^{2-3x}-2\ln x+C.$$
$$\int \left(e^{5x-4}+\frac{1}{5x}\right)dx=\frac15e^{5x-4}+\frac15\ln x+C.$$
Ответ
а) $$F(x)=-\frac12\cos 2x+C$$; б) $$F(x)=x-\sin x+C$$; в) $$F(x)=\sin x+C$$; г) $$F(x)=-\frac14\cos 2x+C$$; д) $$F(x)=\tg x-x+C$$; е) $$F(x)=-\ctg x+C$$.
а) $$F(x)=e^x-\ln x+C$$; б) $$F(x)=-e^{-x}-\ln x+C$$; в) $$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}-\frac12\ln x+C$$; г) $$F(x)=\frac{10^x}{\ln 10}+3\ln x+C$$; д) $$F(x)=-\frac13e^{2-3x}-2\ln x+C$$; е) $$F(x)=\frac15e^{5x-4}+\frac15\ln x+C$$.
