Упр.21.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=x-1; в) y=4x^3; д) y=xvx;
б) y=2x; г) y=3x^2; е) y=x^(2/3). Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции y=f(x):
а) f(x)=sin(x)-3cos(x); г) f(x)=-2sin(x)+cos(x);
б) f(x)=sin(2x)+2/sin^2(x); д) f(x)=cos(x/3)-4/cos^2(x);
в) f(x)=cos(3x-?/6); е) f(x)=sin(?/3-x/2).
Найдём первообразные по правилам интегрирования степенной функции и основных тригонометрических функций.
а) $$y=x-1$$
$$F(x)=\int (x-1)\,dx=\frac{x^2}{2}-x+C$$
б) $$y=2x$$
$$F(x)=\int 2x\,dx=x^2+C$$
в) $$y=4x^3$$
$$F(x)=\int 4x^3\,dx=x^4+C$$
г) $$y=3x^2$$
$$F(x)=\int 3x^2\,dx=x^3+C$$
д) $$y=x\sqrt{x}$$
$$x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$$
$$F(x)=\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{5/2}}{5/2}+C=\frac{2}{5}x^{5/2}+C=\frac{2x^2\sqrt{x}}{5}+C$$
е) $$y=\sqrt[3]{x^2}$$
$$\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$$
$$F(x)=\int x^{2/3}\,dx=\frac{x^{5/3}}{5/3}+C=\frac{3}{5}x^{5/3}+C=\frac{3x\sqrt[3]{x^2}}{5}+C$$
Найдём первообразные для функций $$f(x)$$.
а) $$f(x)=\sin x-3\cos x$$
$$F(x)=\int (\sin x-3\cos x)\,dx=-\cos x-3\sin x+C$$
б) $$f(x)=\sin 2x+\frac{2}{\sin^2 x}$$
$$F(x)=\int \sin 2x\,dx+\int \frac{2}{\sin^2 x}\,dx$$
$$F(x)=-\frac12\cos 2x-2\ctg x+C$$
в) $$f(x)=\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$$
$$F(x)=\int \cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)\,dx=\frac13\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)+C$$
г) $$f(x)=-2\sin x+\cos x$$
$$F(x)=\int (-2\sin x+\cos x)\,dx=2\cos x+\sin x+C$$
д) $$f(x)=\cos\frac{x}{3}-\frac{4}{\cos^2 x}$$
$$F(x)=\int \cos\frac{x}{3}\,dx-\int \frac{4}{\cos^2 x}\,dx=3\sin\frac{x}{3}-4\tg x+C$$
е) $$f(x)=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)$$
$$F(x)=\int \sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)\,dx=2\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)+C$$
Ответ
а) $$F(x)=\frac{x^2}{2}-x+C$$; б) $$F(x)=x^2+C$$; в) $$F(x)=x^4+C$$; г) $$F(x)=x^3+C$$; д) $$F(x)=\frac{2}{5}x^{5/2}+C$$; е) $$F(x)=\frac{3}{5}x^{5/3}+C$$.
а) $$F(x)=-\cos x-3\sin x+C$$; б) $$F(x)=-\frac12\cos 2x-2\ctg x+C$$; в) $$F(x)=\frac13\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)+C$$; г) $$F(x)=2\cos x+\sin x+C$$; д) $$F(x)=3\sin\frac{x}{3}-4\tg x+C$$; е) $$F(x)=2\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)+C$$.
