Упр.21.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года. Для данной функции найдите хотя бы одну первообразную:
а) $$y=\frac{2}{x^2}$$; в) $$y=\frac{1}{x}$$; д) $$y=-\frac{1}{\sqrt{x}}$$; б) $$y=x^2$$; г) $$y=x^{-3}$$; е) $$y=3\sqrt{x}$$.
Задание учебника 2022 года. Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции $$y=f(x)$$:
а) $$f(x)=(x+4)^2$$; г) $$f(x)=(x-2)^3$$; б) $$f(x)=-\frac{1}{(3x-2)^2}$$; д) $$f(x)=\frac{12}{(4x+7)^3}$$; в) $$f(x)=\frac{6}{\sqrt{5-3x}}$$; е) $$f(x)=\frac{9}{2\sqrt{6x+1}}$$.
Используем формулу первообразной:
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1,$$
а также
$$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$
$$y=\frac{2}{x^2}=2x^{-2}$$
$$F(x)=2\cdot \frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac{2}{x}+C.$$
$$y=x^2$$
$$F(x)=\frac{x^3}{3}+C.$$
$$y=\frac{1}{x}$$
$$F(x)=\ln|x|+C.$$
$$y=x^{-3}$$
$$F(x)=\frac{x^{-2}}{-2}+C=-\frac{1}{2x^2}+C.$$
$$y=-\frac{1}{\sqrt{x}}=-x^{-1/2}$$
$$F(x)=-\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=-2\sqrt{x}+C.$$
$$y=3\sqrt{x}=3x^{1/2}$$
$$F(x)=3\cdot \frac{x^{3/2}}{3/2}+C=2x\sqrt{x}+C.$$
$$f(x)=(x+4)^2$$
Положим $$u=x+4$$, тогда $$du=dx$$:
$$F(x)=\frac{(x+4)^3}{3}+C.$$
$$f(x)=-\frac{1}{(3x-2)^2}=-(3x-2)^{-2}$$
Положим $$u=3x-2$$, тогда $$du=3\,dx$$, $$dx=\frac{du}{3}$$:
$$F(x)=-\frac13\int u^{-2}\,du=-\frac13\cdot \frac{u^{-1}}{-1}+C=\frac{1}{3(3x-2)}+C.$$
$$f(x)=\frac{6}{\sqrt{5-3x}}=6(5-3x)^{-1/2}$$
Положим $$u=5-3x$$, тогда $$du=-3\,dx$$, $$dx=-\frac{du}{3}$$:
$$F(x)=6\int u^{-1/2}\left(-\frac{du}{3}\right)=-2\int u^{-1/2}\,du=-2\cdot 2u^{1/2}+C=-4\sqrt{5-3x}+C.$$
$$f(x)=(x-2)^3$$
Положим $$u=x-2$$, тогда $$du=dx$$:
$$F(x)=\frac{(x-2)^4}{4}+C.$$
$$f(x)=\frac{12}{(4x+7)^3}=12(4x+7)^{-3}$$
Положим $$u=4x+7$$, тогда $$du=4\,dx$$, $$dx=\frac{du}{4}$$:
$$F(x)=12\int u^{-3}\cdot \frac{du}{4}=3\int u^{-3}\,du=3\cdot \frac{u^{-2}}{-2}+C=-\frac{3}{2(4x+7)^2}+C.$$
$$f(x)=\frac{9}{2\sqrt{6x+1}}=\frac{9}{2}(6x+1)^{-1/2}$$
Положим $$u=6x+1$$, тогда $$du=6\,dx$$, $$dx=\frac{du}{6}$$:
$$F(x)=\frac{9}{2}\int u^{-1/2}\cdot \frac{du}{6}=\frac{3}{4}\int u^{-1/2}\,du=\frac{3}{4}\cdot 2u^{1/2}+C=\frac{3}{2}\sqrt{6x+1}+C.$$
Ответ
$$\begin{aligned} &1)\; F(x)=-\frac{2}{x}+C,\quad 2)\; F(x)=\frac{x^3}{3}+C,\quad 3)\; F(x)=\ln|x|+C,\\ &4)\; F(x)=-\frac{1}{2x^2}+C,\quad 5)\; F(x)=-2\sqrt{x}+C,\quad 6)\; F(x)=2x\sqrt{x}+C;\\ &1)\; F(x)=\frac{(x+4)^3}{3}+C,\quad 2)\; F(x)=\frac{1}{3(3x-2)}+C,\quad 3)\; F(x)=-4\sqrt{5-3x}+C,\\ &4)\; F(x)=\frac{(x-2)^4}{4}+C,\quad 5)\; F(x)=-\frac{3}{2(4x+7)^2}+C,\quad 6)\; F(x)=\frac{3}{2}\sqrt{6x+1}+C. \end{aligned}$$
